第三章高维空间的分形图形生成

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1、第第33章章高维空间的分形图形生成高维空间的分形图形生成3.1三维L-系统3.3随机分形风景Digitalstone3.2四元数分形3.3.1Brown(布朗)运动与随机中点位移法3.2.2四元数与Mandelbrot集3.3.2分形山地景色和Julia集3.1.1一个较简单的系统•2D空间的L-系统F、+、-龟行几何•３D空间向量H、U、L空间龟行–H向前（Heading）–U向上（Up）–L向左（Left）Digitalstone–向量具有单位长度，互相正交，且满足H*L=U3.2.1复数虚数是负数开平方

2、的产物，它是在代数方程求解过程中逐步为人们所发现的公元三世纪的丢番图只接受正有理根而忽略所有其它根，当方程两个负根或虚根时，他就称它是不可解的。十二世纪印度的婆什伽罗指出：“负数没有平方根，因为负数不可能是平方数”卡当（1545）解方程得到5−−15根和5+−15。这Digitalstone使卡当迷惑不解，并称负数的平方根是“虚构的”、“超诡辩的力量”。17世纪，尽管用公式法解方程时经常产生虚数，但是对它的性质，当时仍没有认识。莱布尼兹说：“那个我们称之为虚的－1的平方根，是圣灵在分析奇观中的超凡显示，是介于

3、存在与不存在之间的两栖物，是理想世界的瑞兆。”用几何的直观来认识复数英国数学家瓦里士（1685）用几何直观表示实数系二次方程复根的方法：画一条数轴，将根的实部在数轴上表示为一点，在此点处做一线段垂直于数轴，其长度等于−1的系数，即表示根的虚部。丹麦数学家韦塞尔（1788年）做了改进：在已有数轴上，做与之垂直的虚轴，并以−1为单位，这样就建立了复平面，对于每个复数a+bi，都对应着一个由坐标原点出发的向量。韦塞尔用几何方法的向量运算规定了复数的四则运算，这些定义在现今的教材中也仍保留着。Digitalstone

4、高斯在（1811年）提出a+bi可用点（a,b）表示，并于1831年阐述了复数的几何加法与乘法。同时他指出，在这个几何表示中人们可以看到复数的直观意义已完全建立起来。复数的几何表示促使人们改变了对虚数的神秘印象，成为直观上可以接受的数学对象。复数的公理化定义1837年英国数学家哈密顿指出，复数a+bi实数的有序偶（a,b），i在复平面上可表示为（0，1），用有序偶给出四则运算的定义，在这种定义下，通常的结合律、交换律及分配律，都能用实数的有序偶推导出来Digitalstone3.2.2四元数利用“域扩张”的方

5、法，寻找新的数域――超复数域。哈密顿的尝试――从三元数到四元数“模法则”：两个数(a+bi+cj)、（x+yi+zj）相乘得到一个新数，它所对应的（三维空间）向量的长，恰好是原先两数所对应的向量的长的积。即对于(a2+b2+c2)与(x2+y2+z2)，是否可以找到(u,v,w),使得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=u2+v2+w2。此前，勒让德就举例说明模法则在三元数域中不可能Digitalstone成立：3=1+1+1及21=16+4+1都可以表示为三个平方数的和，可是3×21=63却不能表示为

6、三个平方数的和。理由是：凡是形如8n+7的整数都不能表示为三个平方数的和。布尔罕桥上的顿悟——i2=j2=k2=ijk=－1。哈密顿经历了十五年锲而不舍的努力，终于使一个新的超复数域诞生了。这种四元数也像实数和复数那样可以施行加、减、乘、除的运算，但是却不能满足乘法交换律。正如我们已经看到的，ij≠ji。Digitalstone超复数域的发展“八元数”，这是一种包含四元数的新数，不能满足乘法结合律。利用公理化方法构造数系“2n元数”，并且证明了：n=4且满足“模法则”的数是不存在的（1848年）能保持普通代数

7、所有基本性质不变，而比复数域更大的数系是不具备这些基本性质的。（维尔斯特拉斯，1861年）Digitalstone能满足除乘法交换律之外的一切代数基本性质的超复数域，只有四元数一种（弗罗宾纽斯，1878年）能施行加、减、乘、除的数系只有四种，他们分别是一维的实数域、二维的复数域、四维的四元数域及八维的八元数域（1958年）复数1、复数域2、复平面3、复数的模与辐角Digitalstone4、复数的乘幂与方根5、复数的应用举例1、复数域1.1虚单位:2实例:方程x=−1在实数集中无解.为了解方程的需要,引入一个

8、新数i,称为虚数单位.对虚数单位的规定:Digitalstone2)1(i=−;1)2(i可以与实数在一起按同样的法则进行四则运算.虚数单位的特性:1232i=i;i=−;1i=i⋅i=−i;422541i=i⋅i=;1i=i⋅i=i;642743i=i⋅i=−;1i=i⋅i=−i;844i=i⋅i=;1……一般地，如果Digitalstonen是正整数,则4n4n+1i=,1i=i,i4n+2=−