第14讲势流理论1

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1、第14讲势流理论(1)(PotentialFlowTheory)主要内容：1.势流问题的基本方程和边界条件2.复势3.平面势流的基本解1势流问题的基本方程和边界条件(1)势流问题势流：不可压、理想流体的无旋流动称为势流。势流即无源、无旋的流动，其势函数满足拉普拉斯方程势流问题：势流流场对物体的作用力势流问题的求解思路：流函数伯努利方程积分拉普拉斯方程速度势速度分布压力分布压力合力复势(2)基本方程势流问题的基本方程就是速度势的拉普拉斯方程：2∇ϕ=0（在流体中）拉普拉斯方程有无穷多个解，要想得到唯一解，就要给出具体问题的边界条

2、件，非定常流动还要给出初始条件。(3)边界条件边界条件是指速度势在流体域边界上满足的条件。流体域边界面的可能形式：①物体表面（船体表面，鱼身体表面）；②互不渗透的两种流体边界（海面）；③无穷远边界面。物面边界条件理想流体中不存在剪应力，流体质点可以沿物面滑动，但不能穿越物面，即理想流体在物面上满足不可穿透条件：v⋅n=v⋅nb∂ϕ=v⋅nb∂n也就是说，流体和物面在物面法向的速度相同。根据梯度的概念，物面的单位外法向量可用物面方程表示：∂F∂F∂Fi+j+k∇F∂x∂y∂zn=±=∇F222⎛∂F⎞⎛∂F⎞⎛∂F⎞⎜⎟+⎜⎜⎟

3、⎟+⎜⎟⎝∂x⎠⎝∂y⎠⎝∂z⎠则物面边界条件可写为：∇ϕ⋅∇F=v⋅∇Fb对物面方程F(x,y,z,t)=0求全导（物质导数）：DF∂F∂Fdx∂Fdy∂Fdz∂F=+++=+v⋅∇F=0bDt∂t∂xdt∂ydt∂zdt∂t∂F整理得：v⋅∇F=−b∂t于是物面边界条件又可写成：∂F+∇ϕ⋅∇F=0∂t或：∂F∂ϕ∂F∂ϕ∂F∂ϕ∂F+++=0∂t∂x∂x∂y∂y∂z∂z若物面静止，物面边界条件简化为：∂ϕ=0∂n或：∂ϕ∂F∂ϕ∂F∂ϕ∂F++=0∂x∂x∂y∂y∂z∂z无穷远边界条件根据参考坐标系的不同，无穷远边界条件

4、有两种形式。取大地坐标系，流体的运动是由于物体的作功引起的，物体对流体的扰动能量是有限的，流体的运动主要在物体附近，离物体越远，流体运动速度越小，无穷远处的流体静止：∇ϕ→0(R→∞)取随体坐标系，则物体静止，流体从无穷远处以速度v流过来，成0为流体绕过物体的绕流问题，所以无穷远处：∇ϕ=v(R→∞)0（4）初始条件初始条件是初始时刻、速度势或速度在流体域内或边界上满足的条件。初始条件要根据具体问题来确定。z例5-1半径为R的固定大球壳中充满不可压y理想流体，半径为a的小球以速度V(t)在其中运动。试建立速度势满足的基本方程和

5、oV(t)x边界条件。x0解：（1）以大球壳中心为原点，建立静止坐标系，速度势满足的基本方程：2∇ϕ=0（2）边界面有大球表面（外边界）和小球表面（内边界）。内边界就是小球的表面，其方程为：2222tF=(x−x0)+y+z−a(x0=∫V(t)dt)t0由内边界方程可得：∂F∂F=−(2x−x0)V(t)=(2x−x0)∂t∂x∂F∂F=2y=2z∂y∂z则内边界条件为：∂ϕ∂ϕ∂ϕ−(x−x)V(t)+(x−x)+y+z=000∂x∂y∂z外边界就是大球表面，其方程为：2222F=x+y+z−R由外边界方程可得：∂F∂F=

6、0=2x∂t∂x∂F∂F=2y=2z∂y∂z则外边界条件为：∂ϕ∂ϕ∂ϕx+y+z=0∂x∂y∂z（5）势流问题的求解方法通过求解满足边界条件和初始条件的拉普拉斯方程，可求得速度势。拉普拉斯方程是一个二阶线性偏微分方程，对于简单边界，可以给出解析解。如果边界条件是线性的，可利用速度势的可叠加性进行求解。对于船体表面这样的复杂边界面，要采用数值计算的方法进行求解。对于平面流动，也可以通过求解满足拉普拉斯方程的流函数，来求速度分布，这时物面不可穿透边界条件用流函数表示，即物面是流面。用速度势和流函数构成复势，是解析函数，可利用有关

7、的保角变换法求解。平面势流理论在工程中应用广泛。比如船在水面的垂荡问题，可近似认为船体各横截面上的流动相同。如果沿船长方向将船分割成许多薄片，并假定绕各薄片的流动互不影响，则这一问题就转化为平面问题，这种近似方法称为切片理论2复势（1）复势与复速度平面势流的势函数和流函数都是调和函数，满足拉普拉斯方程和柯西－黎曼条件：∂ϕ∂ψ∂ϕ∂ψ=,=−∂x∂y∂y∂x若以势函数作实部、流函数作虚部，在复平面z=x+iy上定义复函数：W(z)=ϕ(x,y)+iψ(x,y)W(z)是解析函数，称为复势。不可压流体的任何一种平面势流必定具有一

8、个确定的复势，反之，任何一个解析函数都代表一种平面势流。复势的导数与流体速度的关系将复势求导：dW∂W∂W∂ϕ∂ψ∂ϕ∂ψ===+i=−i+=u−ivdz∂x∂(iy)∂x∂x∂y∂ydW称为复速度。它的实部是速度沿x轴的分量，虚部是速度沿y轴的分量dz的负值。复速度的共轭函