第四章漩涡理论与势流理论

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1、第四章漩涡理论与势流理论流体由于具有易变形的特性，因此流体的流动要比刚体的运动复杂得多。在流体运动屮，冇旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型。出流体微因运动分析可知,有旋流动是指流体微因旋转角速度供0的流动，无旋流动是指（0=0的流动。实际I：,粘性流体的流动人多数是有旋流动。流体的无旋流动虽然在丁程上出现得较少，但无旋流动比有旋流动在数学处理上简单得多，因此，在流体力学中无旋流动的研究具有重大的意义。对工程中的某些问题，在特定条件下对粘性较小的流体运动进行无旋处理，用势流理论去研究其运动规律，特别是绕流物体的流动规律，对工程实践具有指导意义和应用价值。本章

2、首先对流体微因的运动进行分析，同时得出无旋运动和冇旋运动的概念。然后讨论理想流体运动的基本方程和求解。在此基础上木章侧重讨论旋涡基本理论和平面势流基本理论。4.1流体微团的运动分析在流体流动时，流体微团除了可以像刚体那样平动和转动Z外，还伴有变形运动，如图4・1所示。由于有变形运动，流体微团的旋转也不像刚体转动那样简单。如果从流体微团中弓I出若干条宜线，它们的旋转角速度可以各不和等，所以流体微团的旋转角速度是指过同一点，若干条直线旋转角速度的平均值。由于流体所具有的易流动性，流体微团即使是在一个很小的力的作用下，只耍时间足够长，就可以发生足够大的变形。因此，

3、在Translation平移RotationLipicardeformation线变形Angulardclbnnalion角变形FluidElement流体微团对流体微团进行变形Fig.4-1流体微团运动运动分析时，不是看其变形量的大小，而是看其变形速度的大小。作为分析流体微团运动的基木量，引入线变形速度£,剪变形角速度丫和平均旋转角速度3。4.1.1线变形速度如图4・2所示，首先考虑最简单的一维流动情况。在t时刻，在x轴上取一微小线段AB=Ax,A点的速度为以，按泰勒级数展开,B点的速度可表示为气+孚心，ax经过At时间之后，AB线段运动到新的位置A9B

4、AB线段经过At时间之后，其长度的改变量为A'B'-AB={v+^Ar)△/-vArdxOA1BA'dBr-dxbldt(%+77Fig.4-2LinearDeformationVelocity单位长度在单位时间内长度的改变量为(4.1)vA^B-ABd\ev=lim=—-&toAxArdx把&叫做线段AB的线变形速度。&是正值时为拉伸，负值时为压缩。将上述推广到三维空间的情况。三维空间的流体微I才I,不仅具有x方向上的线变形速度，还有y方向和z方向上的线变形速度。在三维空间中，流体微团的速度是空间坐标的函数，即=叮兀,%z,r)Vv=Vy(x,y，t)

5、=vXX,y，z,t)所以，流体微团在x、y、z方向上的线变形速度分量分别为d\.£=—-3vvrs.2)3v.£z=l^下标x、y、z表示变形发生的方向。所以流体微I才1的线变形速度是单位长度在单位时间内长度的改变量。(I+e,A0dx//(1A<)dx包dxQJ)dy/i1+£rA/)d/dx'(1+E.AI)dx(1At)dx(a)(b)(c)Fig.4-3FluidElementDeformation若在流场小取一平行六面休的流休微团，如图4・3所示，图(a)为初始状态。作为一种特殊情况，当E严仏时，流体微团变形之后仍为平行六面体，当0时，为膨胀变

6、形，变形如图(b)所示，当0时，为压缩变形。当J丰■丰J时，变形情况如图(c)所示。对于不可压缩流体，由于在变形过程中，体积不发生改变，所以有dxdydz=(14-Ar)^x(1+Ey/^t)dy(l+£.t)dz1=(1+皿)(1+詁)(1+詁)展开上式，并略去高阶无穷小量，得1=l+£vAr+£vAr+£.Ar即6+£”+£严0(a)或—+-^-+^=0(4.3b)dxdxdx这就是不可压缩流体的连续性方程，与方程(3.29)—致。4.1.2剪变形角速度首先仍以最简单的平面问题为例。如图4-4所示，图屮OACB为初始状态的流体微团。经过&时间之后，流体

7、微团变形如图4-4(b)屮虚线所示，OB边转过的角度为a,OA边转过的角度为卩。a=—Ardydv（4.4）Fig.4-5gun^22：a/toAz10V如、J莎帀）在&时间内，流体微I才I屮直角ZAOB的改变量的一半为”0）=*（半+害）&12oyox单位时间内改变量的一半为=恤丄（也）二（匹+叫）山to2Ar2dyOx对于三维空间，类似有1z3v73vv'人飞（斗+訝显（西+匹）厶23zdx亠理+西人2dxdy上式就是流体微团的剪变形角速度。剪变形角速度是流体微团中某一直角的减小速度的一半。下标x、y、z表示剪切变形发生面的法线方向。4.1.3平均旋转角

8、速度由于流体微团在运动过程中发生变形，在流体微团中某