正项级数敛散性判别的一种新方法

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1、2013年10月枣庄学院学报Oct．2013第30卷第5期JOUＲNALOFZAOZHUANGUNIVEＲSITYVol．30NO．5正项级数敛散性判别的一种新方法吴国磊(如皋高等师范学校数理与信息技术系，江苏如皋226500)［摘要］正项级数的比较判别法，常见的有达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝对数判别法和高斯判别法等，但各有优缺点，本文主要研究了拉贝(Ｒaabe)判别法，并在此基础上给出了它的推广．［关键词］正项级数;拉贝判别法;敛散性①［中图分类号］O173．1［文献标识码］A［文章编号］1004－7077(2013)05－0066－080引言众所周知，级数是微

2、积分学中的重要的内容，对于数项级数敛散性的判别，通常我们总是先判定它是否是绝对收敛，而判定绝对收敛的本质就是判别正项级数的收敛性．正项级数的判别法，常见的有D＇Alembert判别法、Cauchy判别法、Ｒaabe对数判别法和Gauss判别法等，但都有一定的局限性，很多学者在此基础上进行了改进，如文献［1］—［5］，事实上，我们可以根据Ｒaabe判别法，给出了一个与其类似的新判别法．1已有相关研究1．1Ｒaabe判别法∞［6］xnＲaabe判别法设∑xn(xn≠0)是正项级数，limn(－1)=r，则n=1n→∞xn+1∞∞(1)r＞1时，级数∑xn收敛;(2)r＜1

3、时，级数∑xn发散．n=1n=1该判别法和如下形式是等价的:∞an对正项级数∑an，比值可以写成下面形式:n=1an+1anr1=1++o()，an+1nn∞∞(1)r＞1时，级数∑an收敛;(2)r＜1时，级数∑an发散．n=1n=11．2Gauss判别法∞［7］anGauss判别法对正项级数∑an，比值可以表示成下面形式:n=1an+1anμθn=λ++，an2n+1n其中λ，μ是常数，而θn是有界量:θn≤L;那么，(1)如果λ＞1或λ=1，μ＞1级数收敛;(2)如果λ＜1或λ=1，μ＜1级数发①［收稿日期］2013－08－08［作者简介］吴国磊(1981－)，

4、男，江苏宿迁人，如皋高等师范学校数理与信息技术系讲师，主要研究方向为初等、高等数学教育与研究．·66·吴国磊正项级数敛散性判别的一种新方法散．1．3一个引理［1］αk+1βk+1引理设给定正项级数∑αk、∑βk，如果从某项起，不等式≤成立，则从αkβk∑βk收敛可推出∑αk收敛;从∑αk发散可推出∑βk发散．2Ｒaabe判别法的推广2．1Ｒaabe判别法的第一步改进［8］王晖东、刘笑颖已经对Ｒaabe判别法进行过改进，如下:［8］un+11定理1设∑un为正项级数，满足:=1－f()n+g()n+o()，且limnf()n=unnn→∞r，则有:(1)若r＞1，g()

5、n≤0，则∑un收敛;(2)若r＜1，g()n≥0，则∑un发散．证明:当n→∞时，有nf()n－r=o()1，un+111且u=1－f()n+g()n+o()．若令vn=p，则nnnvp－ppn+1n11v=()=(1+)=1－n+o()，nn+1nnvn+1un+1p1－=f()n－g()n－+o()vnunnnnf()n－p1=－g()n+o()nn1=(r－p+o()1)－g()n．n1由于级数∑vn=∑p，当p＞1时，级数收敛;当p≤1时，级数发散．nvn+1un+1(1)若r＞1，取1＜p＜r，则由g()n≤0和上式知，对于充分大的N，有≥，vnun∑vn

6、收敛，根据引理，∑un收敛．vn+1un+1(2)若r＜1，取r＜p＜1，则由g()n≥0和上式知，对于充分大的N，有≤，vnun∑vn发散，根据引理，∑un发散．2．2Ｒaabe判别法的两步改进进一步的改进，可得两步改进方法:［8］定理2设∑un为正项级数，满足un+111=1－－f()n+g()n+o()，unn+1nln(n+1)且limnln(n+1)f()n=r，则有n→∞(1)若r＞1，g()n≤0，则∑un收敛;(2)若r＜1，g()n≥0，则∑un发散．王晖东、刘笑颖对Ｒaabe判别法进行改进仅限于此，若将上述两个定理进行再次推广，可以得到如下的新方法

7、．2．3Ｒaabe判别法的多步改进设∑un为正项级数，满足·67·枣庄学院学报2013年第5期un+1111=1－－…－－f()n+g()n+unn+1nln(n+1)nlnn…ln…{ln(n+1)k个1o()．nlnn…ln…{ln(n+1)k+1个且limnlnn…ln…ln(n+1)f()n=r，则有n→∞{k+1个(1)若r＞1，g()n≤0，则∑un收敛;(2)若r＜1，g()n≥0，则∑un发散．证明:当n→∞时，有nlnn…ln…{ln(n+1)f()n－r=o()1．k+1个且un+1111=1－－…－－f()n+g()n+unn+