幂次为3和4的整数变量非线性型的整数部分

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1、李伟平等：幂次为3和4的整数变量非线性型的整数部分2符号本文中，P表示素数，表示自然数，是很小的正数，￡是绝对小的正数．符号《，》和O中的常数仅依赖于A1⋯．，入6．记e(x)：exp(21rix)，Ix1表示的整数部分．常数C的每一次出现其值不一定相同．本文的主要参数是一个很大的正整数．由定理1．1中假设，至少有一个i／jf1≤i

2、加改变即可所以我们不妨假设】／2是无理数．由于1／A2是无理数，则存在无限多对整数q，a使得I1／2一a／q1≤q_。，(a，q)=1，q>0，a≠0．依．．，6取很大的q，并定义Ⅳ×X。，L=logN，[N一=q，丁=Ⅳ一，Q=(111一+I2I一)Ⅳ_。。，P=N，T=Ⅳ{．令是正实数，定义sinTrva(Q)一／，≠。，(。)=，(2．1)丌＼，(口)=∑e(。)，g()=∑e()，^(口)：∑(1。gp)e()，1≤≤x1≤z≤X3p≤Ⅳ()=e(。)d，()=xe()d，()=Ne()d．

3、由f2．11知，K()《min(u，一lI一)，(2．2)／e(Q)(a)da=max(O，1一-1)．(2．3)由(2．3)易得6=：／一o。I=I1f(Aia)j倒I=I4g(：'J)(一)e(＼一1)／)()d≤logNI1zi+^2z2+^3∞§+^4+5§+6a—p一号I<吉1≤1，x2，3≤x，1≤4，5，6≤x3／4，p≤N=：(1ogNW(x)，从而Ⅳ()≥(1ogⅣ)J(2．4)NTitgJ，我们把无穷积分区间划分为={0t∈：≤7-)，={0l∈：7-<≤P)c={∈：IOll>

4、P)，不妨分别称为中心区间、余区间和平凡区间．766中国科学：数学第43卷第8期3中心区间上的积分引理3．1假设a=+，a，口)=1，那么，1

5、≥号几≤Ⅳ。Ⅱ那么()=()一()+B()，(3．1)12da<

6、Ⅱg()(一)j=426+II(i)(．厂(。)一(3))n夕()(一)767李伟平等：幂次为3和4的整数变量非线性型的整数部分+n(九)(9(4)一v(A4a))Ⅱ-9()^(一)t=1J=536+···+n(九)II()((一)一(一))．则由引理3．2和3．3得／Il((，，((1))一一())n，(九)ⅡⅡ69()^(一))I())da<

7、()。(I(s)l()d)(1B(一)一(一)l。()d)《2(IV(~X6a)12da)(IB(a)12da+,AIol,2~o)《g(—i3。)(Nexp(一i1))1∥r，一1引理3．4得证．u引理3．51．1nI⋯}iⅡ=1附卧)等·证明由文献[41知，对于≠0，u(A)《一，i=l，2，3，v(ajoO《far{，J=4，5，6，(一O1)《一．因而，>Ⅳ⋯l3c扎6cc—)1cd《Ⅳ⋯，rd《一·引理3．5得证．口引理3．6J／一∞垂Ⅱ：1嘶(九＆)娶Ⅱj=64()(一)e(＼_一-1Q

8、)／)Ki(州)d》．·证明由(2．3)，垂，6脚e(1)d乜中国科学：数学第43卷第8期佃厂，∞一。=xx～／1／1⋯／e((3+6Ⅱ一))1×KS(a)dc~dxdx6⋯dxl=1／ff~ⅨlNr-o。。(、(、⋯一))z1=1×KS(a)dadxdx6⋯dXl=1728⋯／1Ⅳ36max(1一6一z～3令IXlxl+⋯+A6X6一一l≤1，则+一·+ee一≤≤+．．．+。e一依据Alxl+。·-十66一>1，Aixi十一··+A6X6一1<Ⅳ，取。(8i=1-1