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1、几种有趣的数———完美数、回文数、相亲数、金兰数、自幂数江苏省泗阳县李口中学沈正中1.完美数某数的所有的真约数（真约数：列出某数的所有约数，去掉该数本身——最大约数，剩下的就是它的真约数）的和等于它本身的自然数叫做完美数，又称完全数或完备数。对于“4”这个数，它的真约数有1、2，其和是3，比4本身小，像这样的自然数叫做亏数（又称作缺数）。类似地有1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,14,15,16,17,19,21,22,23,25,26,27,29,31,……等都是亏数。对于“12”这个数，它的真约数有1、2、3、4、6，其和是1
2、6，比12本身大，像这样的自然数叫做盈数（又称作又称丰数或过剩数或富裕数）。类似地有12,18,20,24,30,36,40,42,48,54,56,60,66,70,72,78,80,84,88,90,96,100,102,……等都是盈数。以上列出的盈数都是偶数。最小的奇数盈数是945，奇数盈数较少。所以，完美数就是既不盈余，也不亏欠的自然数。例如：第一个完美数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。第二个完美数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+1
3、4=28。第三个完美数是496，有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其余9个数相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。后面的完美数还有8128、33550336,……等等。古希腊人非常重视完美数。毕达哥拉斯发现它之后，人们就开始了对完美数的研究。也许完美数太少了，一直到现在，数学家才发现了29个完美数，而且都是偶完美数。前5个完美数分别是：6，28，496，8128，33550336。所以1000以内只有三个完美数。2.回文数从左向右读与从右向左读的数字完全一样的数，即数字对
4、称的数称回文数，如：98789,这个数字正读是98789，倒读也是98789，正读倒读一样，所以这个数字就是回文数。在自然数中，最小的回文数是0，其次是：1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,22,33,44,55,66,77,88,99,101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,202,212,222,232,242,252,262,272,282,292,303,313,323,333,343,353,363,373,383,393,404,414,424,434,444,454,464,474,48
5、4,494,505,515,525,535,545,555,565,575,585,595,606,616,626,636,646,656,666,676,686,696,707,717,727,737,747,757,767,777,787,797,808,818,828,838,848,858,868,878,888,898,909,919,929,939,949,959,969,979,989,999,……等等。一个回文数，它同时还可能是某一个数的平方，这样的数字叫做平方回数。例如：121，12321,……等等。1000以内的平方回数只有4
6、个，分别是：1、121、484、676。其中，1是1的平方；121是11的平方；484是22的平方，同时还是121的4倍；676是26的平方，同时还是169的4倍。在电子计算器的实践中，还发现了一桩趣事：任何一个自然数与它的倒序数相加，所得的和再与和的倒序数相加，……，如此反复进行下去，经过有限次步骤后，最后必定能得到一个回文数。如：7+7=14，14+41=55；29+92=121；194+491=685，586+685=1271；1271+1721=2992；……等等。这也仅仅是个猜想，因为有些数并不“驯服”。也有通过这个办法似乎永远也变不成
7、回文数的数，其中最小的数是“196”，按照上述变换规则重复了数五万次，达到21000位时，仍没有得到回文数。目前已有人利用计算机做了上亿次，仍未得到回文数。但是人们既不能肯定运算下去永远得不到回文数，也不知道需要再运算多少步才能最终得到回文数。在前10万个自然数中，有5996个数像“196”这样似乎永远也产生不出一个回文数，但至今没有人能证实或否定这一猜测。于是“196”问题，成了世界性的难题。在研究回文数的过程中，还发现了回文数的其他一些独特的性质：任意一个数位是偶数的回文数，都是11的倍数。如：77÷11=7、1001÷11=91、5445÷
8、11=495、310013÷11=28183。两个由相同数字组成的回文数，它们的差必定是81的倍数。如：9779－7997=1782=8
