傅里叶滤波器

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1、第7章傅里叶变换与滤波器形状中国科学技术大学曾凡平http://staff.ustc.edu.cn/~billzeng第7章主要内容¢离散时间傅里叶变换确定滤波器的形状以及它的特性，本章讨论：1.定义离散时间傅里叶变换2.定义数字滤波器的频率响应3.建立频率响应、传输函数、差分方程和脉冲响应之间的联系4.用离散时间傅里叶变换计算滤波器在正弦输入时的输出5.确定数字滤波器的幅度响应和相位响应6.建立模拟频率和数字频率的关系7.说明极零点位置如何决定滤波器形状8.研究一阶系统和二阶系统实例数字信号处理基础(01114301)第7章傅里叶变换与滤波器形状

2、27.1傅里叶变换基础¢滤波器的特性主要通过频域的特性来描述。比如对滤波器的分类，就是从滤波器对不同频率输入信号的过滤作用进行分类的。¢离散时间傅里叶变换(DTFT)是数字信号分析的一个工具，相当于模拟信号分析的傅里叶变换(本章未讨论)。¢DTFT把信号或滤波器从时域变换到频域，这主要是为了研究信号或滤波器的频率特性。像前面章节中介绍的z变换一样，用DTFT可使计算更容易。这一变换主要用来分析滤波器形状和信号频谱。数字信号处理基础(01114301)第7章傅里叶变换与滤波器形状3信号的频谱及滤波器的频率响应¢对于信号而言，DTFT提供的信息称为信号

3、的频谱，关于信号频谱将在下一章中讨论。¢对于数字滤波器，DTFT得到的信息称为滤波器的频率响应(frequencyresponse)，它由两部分组成：幅度响应(magnituderesponse)和相位响应(phaseresponse)，这些将在7.3.2节讨论。幅度响应给出了滤波器的形状，通过它可以深入了解滤波器的工作情况。数字信号处理基础(01114301)第7章傅里叶变换与滤波器形状47.1.1离散时间傅里叶变换DTFT∞−jnΩDTFT的定义：X(Ω)=∑x[n]⋅eΩ:称为数字频率n=−∞{}jΩ记为：X(Ω)=Fx[n]相当于Z变换式中

4、的z=e−jnΩ由于e=cos(nΩ)−jsin(nΩ)∞故：X(Ω)又可以写成X(Ω)=∑x[n]⋅()cos(nΩ)−jsin(nΩ)n=−∞逆离散时间傅里叶变换：由X(Ω)计算x[n]的过程−1{}1jnΩx[n]=FX(Ω)=∫X(Ω)edΩ22ππ积分区间长度为2π（积分上下限之差）数字信号处理基础(01114301)第7章傅里叶变换与滤波器形状5X(Ω)的意义¢从X(Ω)的定义知：同一数字序列的X(Ω)的值取决于数字频率Ω，当数字信号x[n]包含的正弦或余弦分量与数字余弦cos(nΩ)或正弦sin(nΩ)“共振”，也就是说，x[n]包含

5、的正弦分量频率等于Ω，X(Ω)取得最大值。¢见图7.1（P174），图7.1只考虑了X(Ω)的实数部分。¢图7.1(c)中较大的乘积，表明所研究的信号具有接近=0.1弧度的数字频率。数字信号处理基础(01114301)第7章傅里叶变换与滤波器形状6DTFT的计算¢DTFT看起来很恐怖，因为有无限项和要计算，但工程实践中的信号均为有限项，且一般借助计算机来辅助分析，实际上并不可怕。¢Matlab函数：ßXomega=freqz(xn,1,omega)¢omega为频率向量¢xn为所考察的信号数字信号处理基础(01114301)第7章傅里叶变换与滤波器

6、形状7DTFT举例例7.1求图7.2所示信号的离散时间傅里叶变换。解：¢只有4个非零采样值(n=0，1，2，4)对变换有贡献，因而：¢一般情况下，DTFT是复数值。数字信号处理基础(01114301)第7章傅里叶变换与滤波器形状8¢例7.2的Matlab程序xn=[4,4,4]omega=[0:pi/4:pi]Xomega=freqz(xn,1,omega)figure;stem(omega,abs(Xomega));figure;stem(omega,angle(Xomega));数字信号处理基础(01114301)第7章傅里叶变换与滤波器形状9

7、7.1.2DTFT的性质1、线性性质：满足叠加原理2、时延特性：F{x[n−n]}=e−jn0Ω⋅F{x[n]}=e−jn0Ω⋅X(Ω)0−jn0Ω时域中n0的延迟在频域里引入一个复指数e3、周期性由于−jn(Ω+2π)−jn2π−jnΩ−jnΩe=e⋅e=eX(Ω+2π)=X(Ω)¢所有的DTFT对于所有的Ω，每2π重复一次，也就是说，只需要考虑X(Ω)在Ω∈[0,2π]区间的特性就行。数字信号处理基础(01114301)第7章傅里叶变换与滤波器形状107.2频率响应及其它形式7.2.1频率响应和差分方程NM∑∑ak⋅y[n−k]=bk⋅x[n−

8、k]k==00k¢如何从差分方程¢利用DTFT的时延特性得中判别是高通、NM低通、带通、带−jkΩ−jkΩ∑ak⋅e⋅Y(