第四节中值定理和导数应用

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1、第四章中值定理与导数的应用本章的内容是微分学的应用，我们将利用导数逐步深入地去揭示函数的一些基本属性．为了便于研究，需要先阐明微分学的几个中值定理，它是用导数来研究函数本身性质的重要工具，也是解决实际问题的理论基础．§4.1微分中值定理定义4.1.1设在的某一邻域内有定义，若对一切有则称在取得极小(大)值，称是的极小(大)值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点．定理4.1.1（费马定理）若在可导，且在取得极值，则．证设在取得极大值，则存在的某邻域，使对一切有．因此当时；而当时；由于在可导，故按极限的

2、不等式性质可得及，所以．若在取得极小值，则类似可证．xx图4—1费马定理的几何意义如图4-1所示：若曲线在取得极大值或极小值，且曲线在有切线，则此切线必平行于轴．习惯上我们称使得的为的驻点．定理4.1.1表明：可导函数在取得极值的必要条件是为的驻点．定理4.1.2（罗尔中值定理）若在上连续，在内可导且，则在内至少存在一点，使得．证因为在上连续，故在上必取得最大值与最小值．若，则在上恒为常数，从而．这时在内任取一点作为，都有；若，则由可知，点和两者之中至少有一个是在内部一点取得的．由于在内可导，故由费马定理推知．图4—2罗尔

3、中值定理的几何意义如图4-2所示：在两端高度相同的一段连续曲线上，若除端点外它在每一点都有不垂直于轴的切线，则在其中必至少有一条切线平行于轴．例1不用求出函数的导数，说明有几个实根，并指出它们所在的位置．解由于是内的可导函数，且，故在区间上分别满足罗尔中值定理的条件，从而推出至少存在，使得．又因为是三次代数方程，它最多只有个实根，因此有且仅有个实根，它们分别位于区间内．例2设，证明多项式在内至少有一个零点．证令则，，且由假设知，可见在区间上满足罗尔中值定理的条件，从而推出至少存在一点，使得．即说明是的一个零点．定理4.1.

4、3（拉格朗日中值定理）　若在上连续，在内可导，则在内至少存在一点，使得　．(1.1)从这个定理的条件与结论可见，若在上满足拉格朗日中值定理的条件，则当时，即得出罗尔中值定理的结论，因此说罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形．正是基于这个原因，我们想到要利用罗尔中值定理来证明定理4.1.3.证作辅助函数，BCA图4-3容易验证在上满足罗尔中值定理的条件，从而推出在内至少存在一点，使得，所以(4.1)式成立．拉格朗日中值定理的几何意义如图4-3所示：若曲线在内每一点都有不垂直于轴的切线，则在曲线上至少存在一点，使得曲线

5、在的切线平行于过曲线两端点，的弦．这里辅助函数表示曲线的纵坐标与直线的纵坐标之差，而这直线通过原点且于曲线过，两端点的弦平行，因此满足罗尔中值定理的条件．公式(1.1)也称为拉格朗日公式．在使用上常把它写成如下形式．　　(1.2)它对于也成立．并且在定理4.1.3的条件下,(1.2)中的可以用任意来代替，即有，　　(1.3)其中介于与之间．在公式(1.3)中若取，则得，或，它表示在为有限时就是增量的准确表达式．因此拉格朗日公式也称有限增量公式．　例3证明：若在区间内可导，且，则在内是一个常数．证　在区间内任取一点，对任意，

6、在以与为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，得到　　　　　　　　　　．其中介于与之间．由假设知，故得，即这就说明在区间内恒为常数．例4　　证明：若在上连续，在内可导，且，则在上严格单增．证任取，且，对在区间上应用拉格朗日中值定理，得到．由假设知，且，故从上式推出，即．所以在上严格单增．类似可证：若，则在上严格单减．例5（导数极限定理）设在连续，在内可导，且存在，则在可导，且．证任取，对在以与为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，得到，其中在与之间，上式中令，则．由于存在，取极限便得．所以在可导，且．例6证明不等式对一切成立．证

7、　　令，对任意，在上满足拉格朗日中值定理的条件，从而推出至少存在一点，使得　　　　　　．由于，，上式即　　　　　　　　．又由，可得　　　　　　　　．因此当时就有　　　　　　　　．对于由参数方程　　　　　　所表示的曲线，它的两端点连线的斜率为．若拉格朗日中值定理也适合这种情形，则应有．与这个几何阐述密切相联的是柯西中值定理，它是拉格朗日定理的推广．定理4.1.4（柯西中值定理）　若与在上连续，在内可导且，则在内至少存在一点，使得　　　　　　．　　　　　　　　　(1.4)证，首先由罗尔定理可知，因为如果不然，则存在，使，这与假

8、设条件相矛盾．作辅助函数　　　　　　．容易验证在上满足罗尔定理的条件，从而推出至少存在一点，使得，即．由于，所以(1.4)式成立．例6设与都是可导函数．当时，．试证当时，不等式成立．证　　因为当时，．即时，所以在内严格单增(参见例4)．故当时有，即．对和在上应用柯西中值定理，得到　　　　　　．由此推出