3.3等差数列的前n项和（二）

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1、3.3等差数列的前n项和(二)*黄冈中学网校达州分校教学目标:1．了解等差数列前n项和公式的函数特征，掌握等差数列的性质．2．灵活运用等差数列前n项和公式及有关性质解题．3．加强学生的发散思维训练，培养学生对知识进行总结的习惯，增强学生的应用意识．教学重点：等差数列的有关性质．教学难点：等差数列有关性质的灵活应用．黄冈中学网校达州分校复习导入等差数列前n项和公式：由这两个公式，我们只要知道a1,an,n,d,sn五个量中的三个，就可以求出另外两个量(即知三求二)．黄冈中学网校达州分校讲授新课例1求集合M={m

2、m=7n,n∈

3、N*且m＜100}中元素的个数，并求这些元素的和．解：由得即满足上面不等式的正整数n共有l4个，所以集合M中的元素共有l4个，将它们从小到大列出，得7,7×2,7×3,……,7×14它们构成一个以a1=7、d=7的等差数列，且有a14=98答：集合M中共有14个元素，它们的和等于735．黄冈中学网校达州分校例2已知一个等差数列的前l0项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗?解析：将已知条件代入等差数列前n项和公式后，可得到两个关于al与d的关系式，然后确定al与d，从而得到求前n项和公式．解

4、：由题可知解得∴这个数列的前n项和公式为我们可以看到，这个前n项和公式是一个关于n的二次函数，而且不含常数项．那是不是所有的等差数列的前n项和公式都有这一特征呢?下面我们来看一般等差数列的情况．黄冈中学网校达州分校对于等差数其前n项和公式为：令则有(a,b为常数)，也就是说，任何一个等差数列的前n项和都可以写成(a,b为常数)的形式．反之，如果一个数列的前n项和公式为(a,b为常数)，那它是不是等差数列呢?(师生共同探讨)黄冈中学网校达州分校我们知道、要判断一个数列是不是等差数列，只要看当n≥2时，是否有an-an-1=d(

5、常数)．而对于任意一个数列{an}当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1∴对上述数列有且n≥2)而a1=S1=a+b符合上式，∴有有(常数)，∴数列{an}是以a+b为首项，2a为公差的等差数列．综上可知，等差数列的性质：④数列{an}为等差数列其前n项和为Sn=an2+b(a,b为常数)．思考：数列{an}为等差数列的充要条件是其前n项和Sn是一个关于n的二次函数?解析：当d=0时，数列{an}为：al，al，……，此时有Sn=na1不是一个关于n的二次函数．黄冈中学网校达州分校例3：等差数列前n项和为S

6、n，若S10=100,S100=10,求Sll0．解析l：根据等差数列前n项和公式的特点，用待定系数法求解．解法一：是等差数列，从而可设由题可得解得黄冈中学网校达州分校例3：等差数列前n项和为Sn，若S10=100,S100=10,求Sll0．解析2：由Sl0及Sl00求出al及d，再求Sll0．解法二：由有解得黄冈中学网校达州分校例3：等差数列前n项和为Sn，若S10=100,S100=10,求Sll0．解析3：利用“整体化”思想，减少运算量．解法三：设公差为d，首项为al，则②一①，得即：另外，根据等差数列前n项和公式的

7、特点，我们可以利用二次函数的方法，求有关数列中的最大最小值问题．黄冈中学网校达州分校例4：一个首项为正数的等差数列中，前3项和等于前11项和，问这个数列的前多少项的和最大?解析：利用等差数列的前n项和为二次函数，利用二次函数的最值法求解，或者由Sn最大来确定项数．解：由题可知当∴n=7时，Sn为最大．黄冈中学网校达州分校例5：已知数列{an}是等差数列．Sn是其前n项和，求证：成等差数列．设成等差数列吗?解：设{an}的首项是al，公差为d，则黄冈中学网校达州分校这一结论可作为等差数列的一个性质．练习:教科书练习4,5,6黄

8、冈中学网校达州分校小结这节课我们主要学习了等差数列前n项和公式的函数特征，以及等差数列的性质，这些对我们解题有很大的帮助．作业习题3.36，9．补充题:一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为l46，所有项的和为234，求这个数列的第七项．黄冈中学网校达州分校