轴心受力构件例题

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轴心受拉构件 •初始缺陷对拉杆承载力的影响：•对轴心受拉构件，初弯曲和残余应力等初始缺陷不会影响其承载力。因为有初弯曲的拉杆受拉后会逐渐拉直；残余应力是在截面上互相平衡，只要钢材具有一定的塑性，外力使整个截面达到屈服后，拉、压残余应力就自行抵消。对有孔拉杆，孔洞边缘存在应力集中，但如果应力高峰处材料屈服后应变增大而不断裂，应力就会逐渐平缓。由此可见，残余应力和应力集中不降低拉杆的静力强度都是依靠钢材的塑性达到的，所以，钢材的塑性性能对钢结构十分重要。 •计算：•根据承载能力的极限状态，毛截面屈服时，杆件伸长很大，达到“不适于继续承载的变形”；而净截面只是杆件的局部区域，达到屈服时整个杆件变形不大，不会影响继续承载，因而净截面达到钢材的抗拉强度才是极限状态。•所以，很多国家对轴心拉杆都是按“毛截面屈服”和“净截面拉断”的准则进行计算。 毛截面屈服Nfyf的计算式：AR净截面断裂的计算式：NfuRfufyfu0.8fAffnRuRuyRyNfy为方便设计，我国规fA范按净截面屈服计算：nR 毛截面屈服Nfyf的计算式：ARγR抗力分项系数；对Q235钢，γR=1.087；对Q345、Q390、Q420钢，γR=1.111。净截面断裂的计算式：NfuRfufyfu0.8fAffnRuRuyRy由于净截面的孔眼附近应力集中较大，容易首先出现裂缝，所以其抗力分项系数应予提高。取γ/γ=0.8，即γ比γ增大25%。uRRURR NfyfARNfuRfufyfu0.8fAffnRuRuyRy现行国标GB50017-2003为了简化计算，采用了Nfyf净截面处应力不超过屈AnR服强度的计算方法，即对规范推荐的Q235、Q345、Q390、Q420钢来说，其屈强比均小于或很接近0.8，因此偏于安全。若采用屈强比大于0.8的钢材，宜用公式（1）、（2）计算。 高强度螺栓摩擦型连接，依靠摩擦面上的摩擦力传递荷载。摩擦力分布在每个螺栓中心附近的有效摩擦面上。有效摩擦面的直径为3d以上。 计算时假定每个螺栓有效摩擦面均匀受力，则验算板件最外列螺栓处净截面强度时，一部分力在孔前已由有效摩擦面上的摩擦力传给另一个板件，净截面处的力已减小为： 净截面处的力已减小为：Nnn11NN10.5nn2因此高强度螺栓摩擦型连接的母材钢板截面验算，至少需要验算2个截面。 【例题】图示高强度摩擦型连接，钢材为Q235-A，8.8级M20螺栓，螺栓孔径𝑑0=21.5𝑚𝑚，𝜇=0.45，承受永久荷载标准值𝑃𝐺𝐾=35𝑘𝑁，可变荷载标准值𝑃𝑄𝐾=210𝑘𝑁。设计此螺栓连接。 【解】1、设计连接螺栓。该连接承受轴心拉力设计值：𝑵=𝟏.𝟐×𝟑𝟓+𝟏.𝟒×𝟐𝟏𝟎=𝟑𝟑𝟔𝒌𝑵单栓预拉力𝑷=𝟏𝟐𝟓𝒌𝑵，单栓抗剪承载力：𝑵𝒃=𝟎.𝟗𝒏𝝁𝑷=𝟎.𝟗×𝟐×𝟎.𝟒𝟓×𝟏𝟐𝟓𝒗𝒇=𝟏𝟎𝟏.𝟑𝒌𝑵需要螺栓数目：𝒏=𝑵𝑵𝒃𝒗=𝟑𝟑𝟔𝟏𝟎𝟏.𝟑=𝟑.𝟑𝟐，取𝒏=𝟒。 【考题】下图所示普通栓钉连接由于栓钉孔对截面的削弱，可能控制承载能力的截面（控制截面）有哪些？大家务必弄清楚这道题！ 【解】1-1截面和2-2截面(对被连构件，即主板)、4-4截面(对拼接板). 2、验算母材及盖板。因为盖板宽度与主连接板相同，两盖板厚度之和与主板相同，故只需验算主板。净截面面积：𝑨𝒏=𝑨−𝟐𝒅𝟎𝒕=𝟏𝟐×𝟏.𝟔−𝟐×𝟐.𝟏𝟓×𝟏.𝟔=𝟏𝟐.𝟑𝟐𝒄𝒎𝟐𝒏𝟏𝑵𝝈=𝟏−𝟎.𝟓𝒏𝐴𝑛净截面强度：𝟐𝟑𝟑𝟔×𝟏𝟎𝟑=𝟏−𝟎.𝟓××𝟒𝟏𝟐.𝟑𝟐×𝟐=𝟐𝟎𝟒.𝟓𝑴𝑷𝒂<𝒇=𝟐𝟏𝟓𝑴𝑷𝒂毛截面强度：𝝈=𝑵𝑨=𝟑𝟑𝟔×𝟏𝟎𝟑𝟏𝟐𝟎×𝟏𝟔=𝟏𝟕𝟓𝑴𝑷𝒂<𝒇 失稳的类别传统上，将失稳粗略地分为两类:分支点失稳和极值点失稳。分支点失稳的特征是:在临界状态时，结构从初始的平衡位形突变到与其临近的另一平衡位形，表现出平衡位形的分岔现象。在轴心压力作用下的完善直杆以及在中面受压的完善平板的失稳都属于这一类型。没有平衡位形分岔，临界状态表现为结构不能再承受荷载增量是极值点失稳的特征，由建筑钢材做成的偏心受压构件，在经历足够的塑性发展过程后常呈极值点失稳。 并非所有的结构在屈曲时都立即丧失承载能力，因此，如果着眼于研究结构的极限承载能力，可依屈曲后性能分为如下三类: 采用最大强度准则的逆算单元长度法，共计算出了200多条轴心受压柱子曲线，选出其中96条曲线作为归纳多条柱子曲线的依据。采用的计算假定为： 轴压构件计算基本假设：（1）初弯曲为𝒗𝟎=𝒍𝟏𝟎𝟎𝟎（2）残余应力共选用了13种模式，如图所示。（3）假定材料为理想弹塑性体，残余应力沿杆长各截面分布相同，未考虑应力退降的影响。（4）未计及初偏心和构件自重的影响；按两端铰接考虑端部约束。 注：各种缺陷同时达到最不利状态的可能性很小，所以，通常只考虑残余应力和初弯曲（对热轧钢板和型钢组成的普通结构）板件厚度<40mm 残余应力对静力强度、稳定承载力（强轴弱轴影响不同）、刚度的影响？详见教材！ [例题——帮助理解问题，并不好懂，不要求掌握]某理想工字型截面轴压柱，略去腹板不计。截面残余应力如图。绘制柱子绕弱轴弯曲屈曲的𝜎𝑐𝑟~𝜆曲线。式中，𝜎𝑐𝑟=𝜑=𝜎𝑐𝑟𝑓𝑦𝜆𝑓𝑦𝜆=称为正则化长细比𝜋𝐸 解：NA/0.7fy时，全截面弹性工作，有2E即，crE22E1/fcry22fy NA/0.7fy时，截面应力分布如图，翼缘两端出现塑性区，中间为弹性区，此时2EIe3mcr2EI23//fmcry 截面应力与外力组成平衡力系，00N22btfmbtAfmAyy22由相似三角形对应边成比例有，2rmb2m0rb22NAfAmAfmyryr 22fmf0.3mcryry23//fmcry132mm0.3102n3mn210.3m m1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.101.1950.9810.7960.6340.4920.3680.2590.1670.0900.0320n0.7000.7570.8080.8530.8920.9250.9520.9730.9880.9971.0 【例题——不要求掌握】某理想工字型截面轴压柱，略去腹板不计。截面残余应力如图。绘制柱子绕弱轴弯曲屈曲的柱子曲线。 解：有效比例极限2fffpyrcy3N2①当fy时，全截A3面弹性，2EcrE2 ，2E1/fcry22fy N2②当fyA3即/f2/3cry翼缘两端各为b/4宽度处进入塑性区，弹性区宽度m为常数，即m=0.5。此时，3m0.125crEE 20.125/f0.125/cry③2/3时21/1.22520.125/0.433 即0.4331.225范围内2/3为常量。1.0时，20.125/0.354 φ曲线的选用应用多条φ曲线取代单一的φ曲线，可以使各类不同截面和不同屈曲轴的轴心压杆计算各得其所，既不会导致性能好的杆件不能充分发挥作用，又不致对性能差的杆件造成不安全的后果。然而，对于设计人员来说，多条曲线总不如单一曲线使用方便。对φ曲线来源不甚清楚的人，还有可能会去误用不适当的曲线，或者对规范中没有列出的截面感到无所适从。 造成φ曲线离散的原因，主要是几何缺陷和残余应力对不同截面影响程度不同，其中残余应力更起主要作用。不同形状的截面会有不同的残余应力分布：同样形状的截面(如H型钢和工字钢)因成型方法不同(轧制或焊接)和尺寸比例不同，也使残余应力有相当出人。 图(α)中轧制H型钢翼缘的边缘残余压应力为最大，受压到一定程度后该处就首先屈服，使绕截面y轴的刚度削弱很多，对稳定十分不利。该σrc值的大小，是随截面的高宽比h/b而异，h/b≤1.2者，σrc可达0.5fy；h/b=1.2～1.7之间者，σrc约为0.3fy；如果h/b＞1.7，则σrc小于0.3fy。图(b)、(c)中焊接的H形截面，出现残余应力的原因与轧制的不同，即使二者尺寸相同，它们的残余应力分布也不是相同的。 •焊接截面的特点是在焊缝附近有很高的残余拉应力句，其值常常达到甚至略高于母材的fy。如果翼缘板是轧制而成的宽扁钢或经剪切机剪切，其残余应力如图(c)所示。翼缘两边有相当宽的残余压应力带，且也保持常值，这对绕y轴的稳定性十分不利。如果翼缘板是火焰切割而成，且未经刨边，则残余应力分布如图(b)所示，翼缘边缘为拉应力，这对绕y轴的稳定性有利得多。 图(d)轧制工字钢的翼缘残余应力因全都是拉应力，它的稳定性能就十分良好。按图(d)的残余应力分布的工字钢无论强、弱轴都可属于a类。但规范对轧制的工字形和H形截面只划分为b/h小于或大于0.8两类，小于0.8者包括一部分H型钢，其翼缘残余应力属于图(α)类型，因此对y轴的稳定计算归入b类而不是a类。 •图(f)中的钢管，残余压应力σrc约为0.15fy，数值很小，稳定性能良好，它是GB50017规范所规定的a类截面的典型。•图(e)的焊接箱形截面，残余压应力的大小和壁板的宽厚比b/t及焊缝厚度a和t之比有关：b/t愈大，则σrc愈小;而α/t愈大则σrc愈大，GB50017规范把这种截面按b/t＞20和≤20分别定为b类和C类。 •板件厚度大于和等于4Omm的厚壁构件，残余应力高于较薄板件组成的截面，并且有沿厚度变化的特点，导致其抗压性能有别于一般压杆。它们的截面分类列在GB50017的表5.1.2-2中，有两种情况属于d类。•从以上分析可知，残余应力的图形和量值不仅对不同的截面有不同的影响，就是对同一截面绕强轴和弱轴的影响程度也是不同的。一根压杆在计算稳定性时可以同时属于a类和b类，如轧制宽翼，缘工字钢b/h≤0.8者；也可以同时属于b类、c类和d类，如焊接工字形或H形截面中翼缘为轧制边或剪切边者。•在GB50017规范中规定的一种截面同时属于两类稳定计算者还有T形钢和十字形钢，情况和工字形截面类似。 弯扭屈曲凡是截面剪心和形心不重合的构件，当沿形心纵轴受压时都必须考虑弯扭屈曲的可能性。在土建工程中，常遇到的单轴对称截面有单角钢、双角钢和剖分T型钢等。图5.2所示T形截面杆绕对称轴屈曲时，因弯曲而产生的剪力V通过截面形心C而偏离剪心S，从而出现扭矩。扭转变形和弯曲变形耦合，使屈曲荷载下降。 早在20世纪70年代颁行的《冷弯薄壁型钢技术规程》TJ18—75就对单轴对称开口截面轴心压杆弯扭屈曲规定了计算公式。修订原GBJ17-88规范时开始考虑弯扭屈曲问题，但没有像薄钢规范那样给出显明的计算公式，而是采用了隐藏的方式，把常用的单轴对称构件的弯扭屈曲看做弯曲屈曲而归入适当的类别。如单角钢压杆和双角钢组合T形截面属于b类，轧制或焊接T形截面及槽形截面属于c类。这样做的好处是使设计工作简化，但其缺点更为突出。不仅容易造成设计者对弯扭屈曲的忽视，并且有时会造成可靠度不足。 对单角钢轴心压杆稳定性分析表明，当绕两个主轴的计算长度相同时，由于弱轴回转半径大约只有绕对称轴的一半，绕弱轴的弯曲屈曲控制设计，不会出现弯扭屈曲。然而当绕此轴的计算长度减小一半时，绕对称轴的弯扭屈曲将起决定性作用。仍然作为弯曲屈曲来对待，将过高估计承载能力约25%。 轴压弯扭屈曲的实用计算方法是：把按弹性稳定理论算得的弯扭屈曲临界力换算成为长细比较大的弯曲屈曲杆件，再按换算长细比从规范表格中查得相应的弯曲失稳稳定系数。虽然换算是按弹性考虑进行，但由于弯曲屈曲的φ考虑了非弹性和初始缺陷，这就相当于弯扭屈曲也间接考虑了非弹性和初始缺陷。但是这种做法意味着把初始几何缺陷和残余应力的效应看成和弯曲屈曲完全一致，实际上不会恰好如此。虽然理论上并不十分严密，但此法是当前工程界普遍认同的方法，并为我国薄钢规范和国际标准《钢结构材料与设计》IS010721-1995所采用。 【例】弯扭屈曲的可能出现,给设计工作中的单、双角钢截面选择带来新因素,即这类构件绕对称轴失稳时,应尽量避免扭转变形居主导地位。出现后一情况的条件是杆件比较短粗(L/b小),同时又宽而薄0y(b/t大)。过去把弯曲屈曲作为惟一的失稳形式,于是强调选压杆截面时尽量取宽而薄的角钢。现在应该更全面考虑问题。当杆件绕对称轴屈曲时,长杆仍然可选宽而薄的规格,但短杆用宽而薄者可能反而不利。 【例3】图示截面大致相等的两种双角钢160×10和100×16的稳定系数φ和杆件计算长度L关系曲线的比较。0y 当L大于3m时，宽而薄的截面φ系数0y大，而小于3m时，则较窄的角钢提供更高的承载力。 等稳定原则 1,K0.425,0.31.3,K4.0,0.3 1.3,K4.0,0.3 等强度原则（偏安全） 【例题】轴心受压构件，截面尺寸如图。N4500kN,l7m,l3.5m0x0y翼缘钢板为火焰切割边，每块翼缘板设有两个直径24mm的螺栓孔。钢板为Q235-B钢。验算此柱截面。 22A250cm,AA4dt230.8cm解：n01333I[50(5022)(501)50]145683cmx12I21250341667cm4（略去腹板影响）y12i24.14cm,i12.91cmxy 强度N22195.0N/mmf205N/mmAn刚度、整体稳定29.0,27.1[]150xyN4500000A0.9392500022191.7Nmm/f205Nmm/合格 局部稳定3030翼缘板b'/t12.3(100.130)13.0腹板h/t50(250.530)400w不合格可以加厚腹板，或者设置纵向加劲肋，因为本题承载力尚有富余，又是承受静力荷载，可以考虑腹板屈曲后强度 考虑屈曲后强度验算如下：2A250222011240cme2AA4dt220.8cmene0强度：N22203.8N/mmf205N/mmAen整体稳定N22199.7N/mmf205N/mmAe 【例题】设计轴心受压柱焊接箱形截面，柱截面无削弱，柱高6m，两端铰接，承受轴心受压力设计值N=6000kN（含自重），钢材用Q235-B。解：假设N2300.936A298.2cmf2610ii20cmxy30 ixi0.39,hi0.39bb513mmxy0.390.25Ab500mmt,14.91mmt,16mmbixh513mmh,460mmw0.39(A2)/2btt15.02mm,t16mmwwhw 校核：2A307.2cm13344I(5049.246.846)116621cm,I119571cmxy12i19.48cm,i19.73cm,30.8,30.4[]150xyxyN0.933209.3MPaf215MPaAb50016030.340t16h460028.840t16w 最大承载力23NAf0.933307.210215106162kNmax若改用Q345钢材，23NAf0.909307.210310108657kNmax承载力提高了40.5%，长细比小的构件，处于弹塑性工作，材料强度对承载力影响较大！较短的构件，采用较高强度材料也是提高构件承载力的有效方法！ [考题]某轴心受压平台钢柱两端铰接，柱高6m，在弱轴方向有一个侧向支承，位置及柱截面尺寸如图所示（单位：mm）。柱截面对x轴、y轴均为b类，钢材为Q345（f=310N/mm2），焊条为E50系列。设计内力N=2000kN,截面无削弱。试进行各项验算。 解：A=25𝟎×8+25𝟎×14×2=9𝟎𝟎𝟎𝒎𝒎𝟐3𝑰𝒙=𝟐𝟓𝟎×278/123−250−8×250/128𝟒=1.325×10mm 3I𝒚=𝟐×𝟏𝟒×250/12+3250×8/127𝟒=3.647×10𝒎𝒎3I𝒚=𝟐×𝟏𝟒×250/127𝟒=3.646×10𝒎𝒎 𝒊𝒙=𝑰𝒙𝑨8=𝟏.𝟑𝟐𝟓×10/9000=121.3mm𝒊𝑦=𝐼𝑦𝐴7=3.647×10/9000=63.7mm 𝝀𝒙=𝟔𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝟏.𝟑=𝟒𝟖.𝟓𝝀𝒚=𝟒𝟎𝟎𝟎𝟔𝟑.𝟕=𝟔𝟐.𝟖<[λ]=150𝜆345235=76.1→𝝋=𝟎.𝟕𝟏𝟑 3𝑵𝟐𝟎𝟎𝟎×10==222.2𝑨9000>𝝋𝒇=𝟎.𝟕𝟏𝟑×310=221.0MPa整体稳定不合格。 局部稳定：翼板：𝟐𝟓𝟎−𝟖)𝟐=𝟖.𝟔𝟏𝟒𝟐𝟑𝟓<𝟏𝟎+𝟎.𝟏𝝀=𝟏𝟑.𝟒𝟑𝟒𝟓 腹版：𝟐𝟓𝟎=𝟑𝟏.𝟑𝟖𝟐𝟑𝟓<𝟐𝟓+𝟎.𝟓𝝀𝟑𝟒𝟓=𝟒𝟔.𝟓 【例题1】已知某轴心受压缀板柱，柱截面为2【28a，如图。Q235-B钢。计算长度l0x=l0y=l=6m。承受轴心压力设计值N=1600kN。缀板与柱身焊接。缀板净间距为a=80cm和a=65cm两种方案。计算此柱是否安全。 【考题】两端铰接缀板式格构柱L=5.8m，受轴心压力设计值N=2040KN（包含自重）钢材为Q235，f=215N/mm2，试验算其整体稳定性。 一个槽钢32b的截面特性：A=54.90cm2I=8057cm4yi=12.11cmyI=335.6cm41i=2.47cm1 𝒍𝟓𝟖𝟎解：𝝀𝒚===𝟒𝟖𝒊𝒚𝟏𝟐.𝟏𝟏𝒍𝟏𝟔𝟎𝝀𝟏===𝟐𝟒.𝟑𝒊𝟏𝟐.𝟒𝟕𝑰=𝟐𝑰+𝟐𝑨𝟑𝟐𝟐−𝟐.𝟐𝟐𝒙𝟏=𝟐×𝟑𝟑𝟓.𝟔+𝟐×𝟓𝟒.𝟗×𝟑𝟓𝟐−𝟐.𝟐𝟐=𝟐𝟏𝟓𝟖𝟏𝒄𝒎𝟒 𝑰𝒙𝟐𝟏𝟓𝟖𝟏.𝟓𝒊𝒙===𝟏𝟒𝒄𝒎𝟐𝑨𝟐×𝟓𝟒.𝟗𝒍𝟓𝟖𝟎𝝀𝒙===𝟒𝟏.𝟒𝒊𝒙𝟏𝟒𝝀=𝝀𝟐+𝝀𝟐=𝟎𝒙𝒙𝟏𝟒𝟏.𝟒𝟐+𝟐𝟒.𝟑𝟐=𝟒𝟖，查表φ=0.865 𝑵𝝈=𝝋𝑨𝟐𝟎𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎=𝟎.𝟖𝟔𝟓×𝟐×𝟓𝟒𝟗𝟎=𝟐𝟏𝟓𝑵𝒎𝒎𝟐合格。