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《王连笑高考数学讲座第3讲》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、高三数学下学期第3讲主持人:特级教师王连笑常用的数学思想方法——数形结合的思想方法一.数形结合的思想方法数形结合思想就是把代数上的“数（式）”与几何上的“形”结合起来，认识问题、解决问题的一种思想.数形结合并非胡乱结合,而是以“数”的几何意义为基础的,往往涉及到解析几何的许多基础知识(两点间的距离、斜率、曲线方程等).数形结合的应用大致可分为两种情形:或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.数与形两者之中,一个为手段(方法),一个为目的.数形结合是认识问题理解题意的重要手段,一些抽象的数学表达式一旦与形结合起来,对它的意义和认识就可以变得清晰起来
2、,容易产生解题设想并形成解题思路,或者直接观测到结果,是一种很有意义的解题方法.在解数学题时,进行数形结合,往往有三个途径:(1)通过坐标系.如:直角坐标系中,有可联想到两点连线的斜率,可想到两点间距离.复平面中为复数所对应的两点间的距离.(2)转化.把正数a看成距离,(或ab)看成面积,或(abc)看成体积,看成勾股定理,与余弦定理相联系,转化为三角形的三边.(3)构造.构造一个几何图形,或构造函数.数形结合是一种数学意识,是认识数学、理解数学的必然要求,是非常重要的数学素质,同学们应加强培养和练习,做到“胸中有形”.对于一些较简单的问题,不一定必须画出图形,只需在脑海里形成图形即可作出判
3、断.而对一些较为复杂、涉及到两个以上的形往往需要画出图形,并借助图形展开直觉思维.数形结合既具有数学学科的鲜明特点,又是数学研究的常用方法.华罗庚先生曾指出:“数缺形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好,隔裂分家万事非.”纵观多年来的高考试题,利用数形结合思想解题比比皆是,希望同学们树立起数形结合的思想,学会巧妙地运用它解题.在高考中,用数形结合思想解题常有下面几种类型:(1)利用图形求解的个数.(2)利用图形求最值.(3)利用图形求参数的范围.(4)利用图形解不等式.(5)利用图形求值.12高三数学下学期第3讲主持人:特级教师王连笑二.例题精析例1.(90高考)已知h>0,命题甲:两个
4、实数a,b满足命题乙:两个实数a,b满足且那么甲是乙的()(A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)不充分不必要条件[分析及解]命题甲:即在数轴上表示点在和两点之间,命题乙:且在数轴上表示点和b-1在和h之间,a,b若满足乙,则必满足甲;但若满足甲,却未必满足乙,所以甲是乙的必要条件,而不是乙的充分条件.选B.这道题主要考查不等式概念和性质及充分必要条件.利用实数与数轴上的点的一一对应关系,借助于形表示数,从而使问题简化.例2.(90广东)如果函数在区间上是减函数,那么实数a的取值范围是()(A)a≥-3(B)a≤-3(C)a≤5(D)a≥3[分析及解]可画出f(x)的草图,对称轴为,
5、开口向上,若使函数在上是减函数,则区间在对称轴的左侧,即≤,∴≤-3.选B.此题若不结合图形,只是按单调性的概念理解,则需利用单调性的定义去证,求解过程繁琐,特别对于一道选择题,就得不偿失了.例3.正三棱锥S-ABC,其相邻二侧面所成的二面角为,则的取值范围是()(A)(B)(C)(D)[分析及解]正三棱锥S-ABC,作SO底面ABC,则O是ABC的中心,作BDSC于D,连结AD,则ADSC,∴是相邻二侧面所成二面角的平面角,设AC=BC=CA=a,∴BD=AD=在中，12高三数学下学期第3讲主持人:特级教师王连笑为了确定的范围，必须确定的范围.∵SB=SC=SA,则∵SB>BO,∴∴∵且余
6、弦函数在上是减函数,∴∵∴∴即∴∴即∴选C.显然这种解法太复杂,不符合选择题应采用的方法,若从图形入手,想象三棱锥顶点S沿射线OS运动,当S逐渐接近于O时,两侧面SBC与SAC逐渐趋近于底面BOC与AOC,它们所成的二面角趋近于底面,而当S沿射线向无限远运动时,SB,SC,SA趋向于平行,且垂直于底面,则三棱锥趋向于正三棱柱,其相邻二侧面所成二面角,可以无限趋近于以SC为棱的正三棱柱相邻两侧面所成的二面角,其值为∴此题若用正规的计算是很复杂的一道题,若从图形入手,将代数的极限思想应用于图形中,则很合理地推测出结果.例4.已知满足条件求的最大值与最小值.[分析及解]本题中可以看成是满足椭圆方程
7、的点的坐标,求的最值,可采用椭圆的参数方程设点坐标,利用三角函数求最值.12高三数学下学期第3讲主持人:特级教师王连笑设(为参数)∴∴的最大值为13,最小值为-13.如果利用方程与曲线的对应关系,令,则,可将原问题转化为在椭圆找一点,使过该点的直线斜率为3,且在y轴上有最大截距或最小截距,由图可知,当直线与椭圆相切时,有最大或最小截距.消,令,解得∴在求二元函数在有关条件下的最值问题时,可采用本例的构造直线截
