高考数学专题讲座 第8讲 向量及其应用

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1、高考数学专题讲座第8讲向量及其应用一、考点要求1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念；2．掌握向量的加法和减法；3．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件；4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算；5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件；6．掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用．掌握平移公式；7．了解利用向量法证明空间平行垂直关系的方法，了解利用向量法进行角和距离的计

2、算．二、基础过关1．若向量a＝（1，1），b＝（1，－1），c＝（－1，2），则c＝（）．A．－a＋bB．a－bC．a－bD．－a＋b解：设，∴，解得故选B．2．设

3、a

4、＝4，

5、b

6、＝3，a与b夹角为60°，则

7、a＋b

8、等于（）．A．37B．13C．D．解：选C．3．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则＝()．A．λ(＋)，λ∈(0，1)B．λ(＋)，λ∈(0，)C．λ(－)，λ∈(0，1)D．λ(－)，λ∈(0，)解：选A．4．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点满足＝

9、α＋β，其中有α，β∈R且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为（）．A．3x＋2y－11＝0B．(x－1)2＋(y－2)2＝5C．2x－y＝0D．x＋2y－5＝0解：选D．5．将函数y＝f(x)的图象按向量a平移，使得图象上点的坐标由(1，0)变为（2，2），则平移后的图象的解析式为()．A．y＝f(x＋1)－2B．y＝f(x－1)－2C．y＝f(x－1)＋2D．y＝f(x＋1)＋2解：选C．6．设a，b，c是平面内任意的非零向量且相互不共线，则①(ab)c－(ca)b＝0②

10、a

11、－

12、b

13、＜

14、a－b

15、③(bc)a－(ca)b不与c垂直④(3a＋2

16、b)(3a－2b)=9

17、a

18、2－4

19、b

20、2其中真命题是（）．A．①②B．②③C．③④D．②④解：选D．三、典型例题1．平面向量中，已知=(3，2)，(1)若=，则向量在方向上的投影为_____.（2）向量，则向量在方向上的投影为_____.2已知：，，与的夹角为，且向量与的夹角为钝角，则的取值范围为______例1已知a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ,sinβ），a与b之间有关系

21、ka＋b

22、＝

23、a－kb

24、，其中k＞0，（1）求证：(a＋b)⊥(a－b)；（2）用k表示a·b；（3）求a·b的最小值，并求此时a·b的夹角的大小．解：

25、（1）要求用k表示a·b,而已知

26、ka+b

27、=

28、a－kb

29、，故采用两边平方，得

30、ka+b

31、2＝(

32、a－kb

33、)2，k2a2+b2+2ka·b＝3(a2+k2b2－2ka·b)，∴8k·a·b＝(3－k2)a2+(3k2－1)b2，a·b＝．∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ,sinβ)，∴a2＝1,b2＝1，∴a·b＝＝．（2）∵k2+1≥2k，即≥＝，∴a·b的最小值为．又∵a·b＝

34、a

35、·

36、b

37、·cos，

38、a

39、＝

40、b

41、＝1，∴＝1×1×cos．∴＝60°，此时a与b的夹角为60°．注与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右

42、两边平方，且有

43、a+b

44、2＝

45、(a+b)2

46、＝a2+b2+2a·b或

47、a

48、2+

49、b

50、2+2a·b．ABCa例2如图，在Rt△ABC中，，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角θ取何值时·的值最大？并求出这个最大值．解法1：∵，∴．∵，，，∴======．故当，既（与方向相同）时，最大，其最大值为0．解法二：以直有项点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．设

51、AB

52、=c,

53、AC

54、=b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b）且，．设点P的坐标为，则，∴，，，，∴=．∵，∴，∴，故当，既（与方

55、向相同）时，最大，其最大值为0．例3在平面直角坐标系中有一条定长为3的线段，其端点A、B分别在x、y轴上滑动，设点M满足＝2．（1）求动点M的轨迹方程，若轨迹C是圆，写出其圆心坐标和半径；若C是椭圆、双曲线或抛物线，写出其焦点坐标和准线方程；（2）直线垂直于轴，且与轴交于点D（0，），过点D的直线与曲线C相交于P、Q两点，过点P且平行于的直线与曲线C相交于另一点R，设＝λ（λ＞1），E（0，），证明：＝－λ．解：（1）设M（x，y），A（a，0），B（0，b），则a2＋b2＝9，＝（x－a，y），＝（－x，b－y），由＝2得，（x－a，y）

56、＝2（－x，b－y），即：解得代入a2＋b2＝9得，x2＋＝1，∴M的轨迹C是椭圆，其焦点坐标为（0，），（0，－），准线方程为y＝和y＝－．（2）设，则＝(x1，y1－)，＝(