中学数学竞赛讲座及练习（第3讲）求代

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1、第三讲 求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．　　例1求下列代数式的值：　　　分析上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．　　　　　　　　　　=0-4a3b2-

2、a2b-5　　　　　　　　=-4×13×(-2)2-12×(-2)-5　　　　　　　　=-16+2-5=-19．　　(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)]　　　　　=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)　　　　　=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)　　　　　=2xyz-2x2z　　　　　=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)　　　　　=12+6=

3、18．　　说明本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．　　例2已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值．　　分析由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．　　解法1由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简　　a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3　　　　　=b3-3b2+3b-1+3b2-3

4、b-b3　　　　　=-1．　　说明这是用代入消元法消去a化简求值的．　　解法2因为a-b=-1，所以　　原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab　　　　=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab　　　　=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2　　　　=-(-1)2=-1．　　说明这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3因为a-b=-1，所以　　原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3　　　　=a3-3a2b+3ab2-b3=(

5、a-b)3　　　　=(-1)3=-1．　　说明这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3．　　解法4因为a-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1，　　即a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，　　所以a3-b3-3ab(-1)=-1，　　即a3-b3+3ab=-1．　　说明这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．　　解法5　　a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2

6、b+3ab　　　　　　=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab　　　　　　=(-1)3+3ab(-1)+3ab　　　　　　=-1．　　说明这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3；a3+b3=(a+b)(

7、a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．　　　　解由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以　　　　　　　　　　　　　　　解因为a=3b，所以c=5a=5×(3b)=15b．　　将a，c代入所求代数式，化简得　　　　　　　　　解因为(x-5)2，｜m｜都是非负数，所以由(1)有　　　　　　　　由(2)得y+1=3，所以y=2．　　下面先化简所求代数式，然后再代入求值．　　　　　　　　　　=x2y+5m2x+10xy2　　　　=52×2+0+10×5×22=2

8、50　　例6如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．　　分析此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a-2b求值．下面介绍一种不必求出a，b的值的解法．　　解14a-2b=2(7a-b)　　　　　=2[(4a+3a)+(-3b+2b)]　　　　　　=2[(4a-3b)+(3a+2b)]　　　　　　=2(7+19)=52．　　　　｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+