荷载作用下的结构的位移计算

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1、144－－33荷载作用下荷载作用下结构的位移计算结构的位移计算一．位移的一般计算公式2位移状态（实际状态）ΔKPdsdudφdηP、PPP=1K力状态MNQ（虚拟状态）力状态并不是实际存在的，而是虚设的，故称为虚拟状态虚拟状态MdsNdskQdsPPPdϕP=外力虚功duP==内力虚功dηP=4EIEAGANdsMdskQds适用于任适用于线1⋅Δ1=⋅ΔN=PNdu+P+MMdPϕP++QQdηPPKP∑KP∫∫单位荷载法∑∫∫∑∫∫弹性体系EAEIGA何变形体虚功方程3平面杆系结构在荷载作用下的位移计算式力状态的外力和内力NdsMdskQdsPPP1⋅ΔKP=∑∫N+∑

2、∫M+∑∫QEAEIGA位移状态的位移和变形单位荷载法4利用虚功原理来求结构的位移，关键在于虚设恰当的力状态。在虚拟的力状态中，只在虚拟的力状态中，只需在所求位移地点沿所求位移方向加一个单需在所求位移地点沿所求位移方向加一个单位荷载，以使荷载虚功恰好等于所求位移。位荷载，以使荷载虚功恰好等于所求位移。计算时，虚拟的单位荷载的指向可以任意假设，当计算结果为正值，就表示实际位移方向与虚拟力的指向相同，否则相反。二．虚拟状态的建立5求图示刚架A点的水平线位移、角位移。F=1F=1PP虚拟状态的建立6求AB两截面相对线位移、AB两截面相对转角。AF=1PB求AB两点相对位移的虚F=

3、1拟力状态PF=1PF=1P求图示桁架杆CE的转角7PP因桁架杆件只受轴ED。力，故在虚拟状态中，在CE杆两端施加一对C大小等于杆长的倒数、位移状态（实际状态）垂直于杆件且指向相反的集中力。E1/d1/dd等效单位力偶等效单位力偶C力状态（虚拟状态）求∠CEF的改变量8PPED杆件CE、CF指向相反的转角之和——相对角位移CF位移状态（实际状态）1/d1/d1/d1/d力状态（虚拟状态）三.各类结构位移计算的简化式9MMdsNNdskQQdsPPP1⋅ΔKP=∑∫+∑∫+∑∫EIEAGA弯曲变形对轴向变形对剪切变形对位移的影响位移的影响位移的影响在实际工程中，不同的结构，上

4、述三种因素对位移的影响是各不相同的。在实际计算中，可以忽略次要的因素，从而得到各类结构的位移简化计算公式。各类结构位移计算的简化式101．桁架lNNdsNNNNlPPP1⋅Δ==ds=KP∑∫∑∫∑EAEAEA02．梁和刚架MMdsP1⋅ΔKP=∑∫EI3．组合结构MMdsNNlPP1⋅ΔKP=∑∫+∑EIEA4．曲杆和拱MMdsNNdsPP1⋅ΔKP=∑∫+∑∫EIEA四．结构的位移计算示例11例1试求图示悬臂刚架A点的竖向位移y。各杆A杆长为l,材料相同，截面的I、A均为常数。qAyA实际状态虚拟状态121．在A点加一竖向单位荷载作为虚拟状态分别设各杆的x坐标，列P=1

5、K出各杆内力方程为：BA（假设弯矩使刚架内侧受拉xx者为正）虚拟状态AB段：CM=−x,N=0,Q=1BC段：M=−l,N=−1,Q=0实际状态132．在实际状态中，列出各杆内力方程，各杆x坐标与虚拟状态时相同。qAB段：ABxx2qxM=−,N=0,Q=qxPPP2C实际状态BC段：2qlM=−,N=−ql,Q=0PPP23．按位移计算式求位移14MMdsNNdskQQdsPPP1⋅ΔAy=∑∫+∑∫+∑∫EIEAGAl2l2llqxdxqldxdxdx=∫∫(−x)(−)+(−l)(−)+∫(−1)(−ql)+∫k⋅qx2EI2EIEAGA00004225qlqlkql

6、=⋅++8EIEA2GA所得结果为正，表4明Δ与所设单位力指5ql⎡8I4kEI⎤Ay=⋅1+⋅+⋅8EI⎢⎣5Al25GAl2⎥⎦向一致，即向下。4．讨论15设杆件的截面为矩形，其宽度为b、高度为h，则有bh36A＝bh，I=，k=代入上式得12545ql⎡2h22Eh2⎤Δ=⋅1+⋅()+⋅⋅()Ay⎢⎥8EI⎣15l25Gl⎦可以看出，杆件截面高度与杆长之比h/l愈小，则轴力和剪力的影响所占的比重愈小。例如h/l=1/10，并取G=0.4E，可算得45ql⎡11⎤Δ=⋅1++Ay⎢⎥8EI⎣750500⎦与弯曲变形相比，剪切和轴向变形对位移的影响,可以忽略不计例216

7、试求图示等截面圆弧曲梁B点的竖向位移Δ。By要求同时考虑弯曲变形、轴向变形和剪切变形对位移的影响，但不考虑曲率的影响。实际状态虚拟状态列出实际状态的内力方程17PPQPNP实际状态M=−PRsinθ,N=−Psinθ,PPQ=PcosθP列出虚拟状态的内力方程18M=−Rsinθ,N=−sinθ,Q=cosθ虚拟状态计算位移19ds=RdθMMdsNNdskQQdsPPP1⋅ΔBy=∑∫+∑∫+∑∫EIEAGAπππ2322PR2PR2PR2=∫sinθ⋅dθ+∫sinθ⋅dθ+∫kcosθ⋅dθEIEAGA000