第十六届“华杯赛”初一组决赛试题B及参考答案

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1、总分第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B（初中组）（时间:2011年4月16日10:00～11:30）一、填空题（每小题10分,共80分）1.公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数,其中每个数字是由横竖放置的七支荧光管显示,如下图所示.题由于其中三支应该亮的荧光管不亮了,某公交线路号显示成了“351”路,则答该公交线路号可能有种.2.27个正奇数的平均数,精确到0.1是15.9,精确到0.01是.勿参赛证号__3.从2001~2011这11个整数中,选3个数使他们的和能被3整除,则不同的选数法共有种.请_______4.如右图,长方体中J为棱EF上一点,三角形EHJ与姓名内三角形JF

2、B的面积都是50平方厘米,四边形BCGF_______的周长为24厘米,长方体的体积是立方厘米.线_____5.一水池有三个流量相同的注排两用水管,开一个水管一个小时注排水50立方学校米.假设先开一个进水管注满半池水,再同时开三个进水管注满另一半池水；封21排水时,先用时间开三个水管同时排水,再用时间只开一个水管排水,把33池中水排尽.这样排完一池水所化时间比前面注满一池水少用2个小时.水池密的容积是立方米.2a4a3026.有个不同的整数a,使得是正整数.a177.用[x]表示不大于x的最大整数,{x}x[x],则-1-571572573572010

3、2011201120112011的值等于.-2-8.在33的方格图内,填上适当的整数,就能使每一行、每一列和每条对角线上三个数之和都相等,此和记作s.如果下列两个方格图中都要填上2,0,1和3四个数,另外至少再加个不同的整数,方能使得两个方格图的s不同.二、解答下列各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程)229.求所有正整数x,y,使得x＋3y与y＋3x都是完全平方数．10.一本书标有2011页,从第一页开始每11页就在最后一页的页面加注一个红圈,直到末页.然后从末页开始向前,每21页也在最前一页加注一个红圈,直到第一页.问一共有多少页加

4、注了两个红圈,并写出它们的页面号码.11.如图,M,N分别为四边形ABCD对角线AC、BD的中点,过M、N的直线分别交CD、AB于E、F.如果三角形ABE的面积为45,求三角形CDF的面积.12.设S1

5、x1

6、,S2

7、S1x2

8、,,Sn

9、Sn1xn

10、,将,3,2,1,2011这些数适当地分配给x,x,x,,x,使得S尽量大,那么S最大是多少？123201120112011三、解答下列各题（每小题15分,共30分,要求写出详细过程）13.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,L是过A的一条直线,BD⊥L于D,CE⊥L于E,给出BD=a,DE=b,求CE的长度.14.设某

11、年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数,问这个月的20日可能是星期几?-3-第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B参考答案（初中组）一、填空题(每小题10分，共80分)题号12345678答案1115.89571200420610054二、解答下列各题(每题10分，共40分,要求写出简要过程)9.答案：所有解为(1，1)，(11，16)，(16，11)2解：若x＝y∈N*，且x＋3x为完全平方数，222222而(x＋1)＝x＋2x＋1≤x＋2x＋x＝x＋3x＜x＋4x＋4＝(x＋2)．∴当且仅当x＝1时等号成立，∴x＝y＝1；22222若x＞y，则x＜x＋3＜x＋3y＜x＋3x＜(x＋2

12、)．222∴x＋3y＝(x＋1)＝x＋2x＋1．∴3y＝2x＋12x＝3y－1＝2y＋y－1，从而y－1＝2k(k∈N*)；此时有x＝3k＋1．222y＋3x＝(2k＋1)＋9k＋3＝4k＋13k＋4．22222∵(2k＋2)＝4k＋8k＋4＜4k＋13k＋4＜(2k＋4)＝4k＋16k＋16．222∴只能有4k＋13k＋4＝(2k＋3)＝4k＋12k＋9k＝5．∴x＝16，y＝11．∴所有解为(x，y)＝(1，1)，(11，16)，(16，11)．10.答案：9解：第一次从前向后加注红圈时，设加红圈的页面号码为m，则m111,kk1,2,3,m2011（1）由111k201

13、12011111829，1k182第二次从后向前加注红圈时，由2011219516，可知这时加红圈的页面号码m就是从第16页开始向后每隔20页加注红圈的页面号码，除了第16页和最末的一页（第2011页）是例外，于是第二次加注红圈的页面号码就是''m1621,kk0,1,2,,94（2）结合（1）和（2）于是得到''''m111k1621k11(kk)10k15k4于是m