第五章 刚体的定轴转动

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1、第五章第五章刚体的定轴转动刚体的定轴转动§5-1刚体转动的描述§5-2转动定律§5-3转动惯量的计算§5-4转动定律的应用§5-5角动量守恒§5-6转动中的功和能教学基本要求教学基本要求一、掌握刚体定轴问题的分析方法；掌握力矩的概念和计算式；理解转动惯量的概念、影响转动惯量大小的因素和了解一些常用的转动惯量公式；二、掌握刚体定轴转动定律及其应用；三、理解定轴转动的动能定理、刚体角动量的概念、定轴转动的角动量定理，掌握定轴转动中的角动量守恒定律以及守恒条件和简单应用。四、能解决质点和刚体组成系统的一些简单力学问题。5－

2、1刚体的平动、转动和定轴转动一、刚体一、刚体1.定义：物体的形状和大小不发生变化，即物体内任意两点之间的距离都保持不变——刚体。2.讨论:①理想模型;考虑其形状大小，忽略其形变；突出其平动和转动，忽略振动和形变运动。②特殊的质点系(质元间无相对位移)。二二.刚体的平动.刚体的平动1.定义：固连在刚体上的任一条直线,在各时刻的位置始终保持彼此平行的运动。AA′′2.特征:B任意时刻所有质元的v、A′B′′a、运动轨迹均相同。B′可将平动刚体视为一质点的运动处理。例如升降机的运动，汽缸中活塞的运动，刨床上刨刀的运动，车床

3、上车刀的运动等，都是平动。三.刚体的转动：(rotation)1.定义：刚体上所有点都绕同一直线(转轴)作圆周运动.定点—转轴的某点静止于参照系,而轴方位变化;定轴—转轴固定于参照系。（只讨论定轴转动）zAr1ΔθO1OA′Br2OΔθ2B′P2.特征:z各质元均作圆周运动，其圆心Ar1ΔθO都在一条固定不动的直线（转轴）1A′上;Br2O各质元的线量一般不同（因为Δθ2B′半径不同）,但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。例如机器上齿轮的运动，车床上工件的运动，钟表指针的运动，地球的自转、公转运动等等.AB′四

4、.刚体的一般运动CoC′一个汽车轮子在地上的滚动BA′AAA、B、C、…各点oCo′C的运动都不相同BB刚体的运动＝平动＋转动o→o′轮子的平动B′刚体的运动可以是平动和转动的叠加.例如，车轮的滚动，o′C′拧紧或松开螺帽，钻床上的钻头的运动等等。A′绕过o′轴的转动z五.刚体定轴转动的描述Ar1.角位置θ和角位移△θ1ΔθO1A′ΔθdθBr2O＝Δθ22.角速度ωωlim=ΔtdtB′Δt→02Δωdωdθ3.角加速度αα＝==lim2Δt→0Δtdtdt角速度矢量：在转轴上画一有向线ω段，使其长度按一定比例代表

5、角速度的大小，它的方向与转动方向成右手螺旋法则关系，这就是角速度矢量。刚体上任一点P的线速度和角速度之间的关系为rrrv=ω×rω、α本来是矢量，由于在定轴转r动中轴的方位不变，只有沿轴的正ϖ负两个方向，故可以用标量代替。4.刚体运动学中角量关系及角量和线量的关系：2dθdωdθω＝α==2dtdtdt2v=rωa=rαa=rωtn5.匀角加速转动：当刚体定轴转动时，如果在任意相等的时间间隔内，角速度的增量都是相等的，这种变速转动叫做匀变速转动。角加速度α＝const角速度ω＝ω+αt012角位置θ＝θ＋ωt+αt0

6、02刚体定轴转动的情况与质点直线运动相当匀变速定轴转动匀变速直线运动1212θ=ω0t+αtx=v0t+at22ω=ω+αtv=v+at002222ω=ω0+2αθv=v0+2ax例1.一飞轮以转速n=1500r／ω0min转动，受到制动后均匀ϕrrϖ地减速，经t=50s后静止Orrana(1)求角加速度α和飞轮从制ra动开始到静止所转过的转t数N；(2)求制动开始后t=25s时飞轮的角速度；ω设飞轮的半径r=1m，求在t=25s时飞轮边缘上一点的速度和加速度。解（1）初角速度为1500ω0=2πn=2π×=50πr

7、ad/s，60由，ω=ω0+αt得ω−ω00−50π2α===−3.14rad/st50从开始制动到静止为止，飞轮的角位移及转数N分别为1212Δθ=θ−θ=ωt+αt=50π×50−×π×50=1250πrad0022Δθ1250πN===625rev.2π2π(2)t＝25s时刻飞轮的角速度为ω=ω+αt=(50π−π×25)=25π=78.5rad／s0r（3）t=25s时，飞轮边缘上一点P的速度ϖ大小为ϖ=ωrsinϕ=ωrsin90°=ωr=25π×1=78.5m/srrrϖ的方向可由ω×r决定，垂直于所成

8、平面。P点的切向加速度a和法向加速度a的值分别为tn2a=αr=−3.14m/st232加速度的大小为a=ωr=6.16×10m/sn22(3)2()232a=a+a=6.16×10+3.14≈6.16×10m/snt34例题2一飞轮在时间t内转过角度θ=at+bt−ct，式中a、b、c都是常量。求它的角加速度。解：转动情况下，角位置对时间的一