刚体的定轴转动

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1、第5章刚体的定轴转动(Therotationofarigidbodyaboutafixedaxis)§5.1刚体的运动(Themotionofrigidbody)一、刚体(特殊的质点系):受力时物体的形状和体积不变二、刚体的平动和转动1.平动(任意两质点的连线方向始终不变)特点:刚体上每个质点的位移、速度、加速度均相等2.转动(所有质点绕同一直线作圆周运动)w转动平面垂直于转轴的平面特点:各质点角位移,角速度,角加速度相等;位移,速度,加速度不相等(1)平动通常用刚体质心的运动来代表。(2)3.刚体定轴匀加速转动β=C一、力矩(momentof

2、force)1.绕定轴转动的力矩(3)zoP对o点的力矩:α:与轴平行分量(对定轴转动无作用):与轴垂直分量(在转动平面内)对定轴oz转动的力矩:大小:Mz=Frsinα方向:右手螺旋注意:是在oz轴上的一个分量,以后将记为§5.2刚体定轴转动定律(Thelawofrotationofarigidbodyaboutafixedaxis)2.对定轴的合外力矩对定轴的合外力矩等于各分力矩的矢量和:+沿轴线选定力矩方向:与ω相同的方向为力矩的正方向(4)二、刚体定轴转动定律将刚体视为许许多多小质元(质点)组成第i个质点:外力:,内力:切向法向切向法

3、向法向力通过转动中心不产生力矩切线方向的牛顿第二定律(5)oz二边同乘ri对整个刚体转动惯量转动定律意义:刚体所受的对某一固定转轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此力矩作用下所获得的角加速度的乘积。(6)M—是合外力矩说明:1)定律的瞬时性,2)定律中各物理量是对同一转轴的。三、转动惯量(momentofinertia)1.质点(m)对转动轴的转动惯量:2.质点系对同一个转动轴的转动惯量:3.刚体的转动惯量(7)刚体上取质元dm,质元对转动轴的转动惯量:刚体的转动惯量rrmρ[kg/m3]体密度dm=ρdV说明:1)J与质量有关木(

4、J小)铁(J大)2)J与质量的分布有关(m相同)园盘球J最小园环J最大3)J与轴的位置有关(8)λ[kg/m]线密度dm=λdlσ[kg/m2]面密度dm=σdS5)迥转半径(gyroscopicradius)刚体质量(m),转动惯量(J)(9)4)平行轴定理:刚体对任一轴A的转动惯量JA和通过质心并与A轴平行的转动惯量Jc有如下关系:CA例1:质量为m,长为l的匀质棒的转动惯量求1)定轴在一端,2)定轴在质心解:积分四大步:(1)化整为零,写出微分(2)寻找对称,选择坐标(3)引入密度,统一变量(4)定上下限,积零为整1)(10)2)由平行轴

5、公式dmdx例2:园盘(m,R)绕oo'轴的转动惯量解:(11)问:1)园盘的回转半径是多少?2)园盘绕y轴的转动惯量?3)园盘边缘有一质量为m1的小块(很小)脱落了,求对过中心垂直轴的转动惯量?drdθ四、转动定律应用举例解题步骤:1.认刚体;2.定转轴,找运动;3.分析力和力矩;4.定转向,列方程。注意:1.明确转动轴位置。2.选定转动的正方向,注意力矩、角速度、角加速度的正负。3.同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。二类问题:第一类:由角量运动,求力矩(微分法)第二类:由力矩及初始条件,求刚体运动(积分法)(12)对轮:对m:定轴O·R

6、thmv0=0绳解:轮与m为联结体,轮为定轴转动、m为平动,但二者用绳联系起来。m的速度大小与轮边缘线速度大小相等。mgT'=-Tm例3:己知:定滑轮为均匀圆盘,其上绕一细绳,绳一端固定在盘上,另一端挂重物m,绳与轮无相对滑动,绳不可伸长,轮半径R=0.2m,m=1kg,m下落时间t=3s,v0=0,h=1.5m。求:轮对O轴J=?(13)联立解得:运动学关系:(3)(4)(14)解:1)+解得:a1=0.82[m/s2],a2=1.63[m/s2](15)例4:组合轮由二个匀质园盘固结而成,己知mA=6kgrA=0.1m,mB=4kg,rB=

7、0.05m,二盘边缘绕有细绳,绳子下端挂二个物体m1=m2=2kg,二个物体离地面高度均为h=2m,求1)二物体的加速度a1,a2;2)下降物体着地时间,3)绳中张力hx2)h=a2t2/2t=1.56[s]3)T1=m1(g+a1)=21.2[N],T2=m2(g-a2)=16.3[N]AB例5:如图装置,己知木块(m1=5kg)可在斜面上滑动(μ=0.25)斜面倾角θ=30º定滑轮(m=20kg,R=0.2m),重物m2=10kg设绳与轮之间无相对滑动求重物m2加速度,绳中张力?解:解得(16)(m,R)例6:如图:二个匀质园盘(m1,R1

8、,m2,R2),园盘1上施一力矩M使之由静止开始转动,设皮带不伸长不打滑,求:二盘的角加速度各为多少?解:园盘1园盘2皮带不打滑解得:(17)J1=m