资源描述：
《偏微分习题讲解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、习题讲解习题一、11长为l的弦两端固定，开始时在x=c处受到冲量k的作用，试写出相应的定解问题。解由于冲量的作用使弦产生振动，因此弦的位移函数u(x,t)应满足2u=au,00.ttxx2T其中a=.因为弦两端固定，所以ru=u=0.x=0xl=又冲量未作用前，弦上各点处在平衡位置。当冲量作用使得弦开始振动的那一瞬间（即初始时刻），弦上各点仍保持在平衡位置，所以u=0.t=0冲量的作用使弦产生初速度，在弦上取一小区间xc-£e,由冲量定理有2reutt=0=k.在小区间外，因未受冲量作用，所以初速度为零。故ì0,xc->e,ïu=íktt=0,xc-£e.ïî2re由于冲量
2、只作用在c点上，故应取e趋近于零的极限情况。故相应的定解问题为2u=au,00.ìttxxïu=u=0,ïx=0xl=íu=0,t=0ïì0,xc->e,ïïîu=ík(e®0).tt=0,xc-£e.ïî2re习题二、1（1）求Cauchy问题u=xuu,(1)ìtxíîux(,0)=x,(2)解与条件（1）相对应的初始曲线为G:x=wt,=0,u=w.在初始曲线G上，10J==-¹10,"w.xu-1于是问题（1）（2）可转化为解常微分方程组的初值问题dxdtdu=xu,=-1,=0,(3)ìdsdsdsíî(,,)xtu=(,0,).ww(4)s=0由（3）（4）得w
3、sx=we,t=-s,u=w.消去s,w,得问题（1）（2）的解为-utx=ue.习题二、1（5）求Cauchy问题n¶uìåxk=3,u(5)ík=1¶xkîuxx(,,L,x,1)=hxx(,,L,x)(6)12n-112n-1解与条件（6）相对应的初始曲面为G:x=tx,=t,L,x=t,x=1,u=htt(,,L,t).1122n-1n-1n12n-1在初始曲面G上，¶x¶x¶x¶x12n-1nL¶t¶t¶t¶t111110L00¶x¶x¶x¶x12n-1nL01L00¶t¶t¶t¶t2222J=KLL=LLL=¹10.¶x¶x¶x¶x00L1012n-1nL¶t¶t¶t¶ttt
4、Lt1n-1n-1n-1n-112n-1xxLxx12n-1n于是dxdui=xi(=1,2,L,),n=3,u(7)iìdsdsíî(,xx,L,x,xu,)=(,,ttL,t,1,(,,httL,t))(8)12n-1ns=012n-112n-1由（7）（8）得ss3sx=tei(=1,2,L,n-1),x=e,u=htt(,,L,t)e.iin12n-1故问题（5）（6）的解为x1x2xn-13u=h(,,L,)x.nxxxnnn习题二、17（1）求固有值问题：ìX''()x+lXx()=0.（1）ïïíïX(0)=Xl'()=0.（2）ïî解由固有值理论知，只有l>0时方程（1）
5、才有符合条件（2）的非零解。当l>0时，方程（1）的通解为Xx()=Acoslx+Bsinlx.由条件（2），得A=0,Bcosll=0.由于A不能为零（否则X(x)=0），所以pcosll=0,即ll=kp+,k=0,1,2,3,L.2故求得固有值与固有函数分别为2æ2k+1öl=çp÷,kè2løk=0,1,2,3,L.2k+1Xx()=Asinpx,kk2l习题二、17（2）求固有值问题：ìX''()x+lXx()=0.（1）ïïíïX'(0)=Xl()=0.（2）ïî解由固有值理论知，只有l>0时方程（1）才有符合条件（2）的非零解。当l>0时，方程（1）的通解为Xx()=Aco
6、slx+Bsinlx.由条件（2），得B=0,Acosll=0.由于A不能为零（否则X(x)=0），所以pcosll=0,即ll=kp+,k=0,1,2,3,L.2故求得固有值与固有函数分别为2æ2k+1öl=çp÷,kè2løk=0,1,2,3,L.2k+1Xx()=Acospx,kk2l习题二、17（3）ìX''()x+lXx()=0.（3）ïïíïX'(0)=Xl'()=0.（4）ïî解由固有值理论知，只有l³0时方程（3）才有符合条件（4）的非零解。当l=0时，方程（3）的通解为Xx()=ABx+.由条件（4），得B=0.因此Xx0()=A0.当l>0时，方程（3）的通解为Xx(
7、)=Acoslx+Bsinlx.所以Xx'()=-AlsinlxB+lcoslx.由条件（4），得B=0,Alsinll=0.由于A不能为零（否则X(x)=0），所以sinll=0,即ll=kp,k=1,2,3,L.故2ækpökpl=ç÷,Xx()=Acosx,k=1,2,3,L.kkkèløl综合以上两种情况，得固有值与固有函数分别为2ækpökpl=ç÷,Xx()=Acosx,k=0,1,2,3,L.kkkèløl习题二、19
