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《偏微分方程数值习题解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、李微分方程数值解习题解答1-1如果，则称是的驻点（或稳定点）.矩阵对称（不必正定），求证是的驻点的充要条件是：是方程组的解证明:由的定义与内积的性线性性质,得必要性:由,得,对于任何,有,由线性代数结论知,充分性:由,对于任何,即是的驻点.§1-2补充:证明的不同的广义导数几乎处处相等.证明:设,为的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意,有两式相减,得到由变分基本引理,几乎处处为零,即几乎处处相等.补充:证明的连续性条件(1.2.21)证明:设,由不等式,其中习题:1设为的一阶广义导数,试用类似的方法定义的阶导数)解:一阶广义导数的定义,主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来定义,因此
2、可得到如下定义:对于,若有,使得对于任意的,有则称有阶广义导数,称为的阶广义导数,并记注:高阶广义导数不是通过递推定义的,可能有高阶导数而没有低阶导数.2.利用的完全性证明是空间.证明:只证的完全性.设为的基本列,即因此知都是中的基本列(按的范数).由的完全性,存在,使,以下证明(关键证明)由不等式,有对于任意的,成立由取极限得到即,即,且故中的基本列是收敛的,是完全的.3.证明非齐次两点边值问题证明:边界条件齐次化令,则满足齐次边界条件.满足的方程为,即对应的边值问题为(P)由定理知,问题与下列变分问题等价求其中.而而从而则关于的变分问题等价于:求使得其中4就边值问题（1.2.28）建立虚功
3、原理解:令,,则满足等价于:应用分部积分,还原,于是,边值问题等价于:求,使得,成立注:形式上与用去乘方程两端,应用分部积分得到的相同.5试建立与边值问题等价的变分问题.解:取解函数空间为,对于任意用乘方程两端,应用分部积分,得到而上式为定义,为双线性形式.变分问题为:求,1-41.用方法求边值问题的第次近似,基函数解:(1)边界条件齐次化:令,,则满足齐次边界条件,且第次近似取为,其中满足的方程为又由三角函数的正交性,得到而于是得到最后得到2.在题1中,用代替右边值条件,是用方法求解相应问题的第次近似,证明按收敛到,并估计误差.证明:对应的级数绝对收敛,由的完全性知极限就是解,其误差估计为3
4、.就边值问题(1.2.28)和基函数,写出方程解:边界条件齐次化,取,,对应的微分方程为对应的变分方程为变分方程为取,则方程为 取,具体计算,,,即解:得到方程组为特别取,有求解得到其解为Ch2 椭圆与抛物型方程有限元法§1.1用线性元求下列边值问题的数值解:此题改为解:取,,为未知数.形式的变分方程为,其中,又因此在单元中,应用仿射变换(局部坐标)节点基函数为取,则计算得代数方程组为代如求值.取,未知节点值为,方程为应用局部坐标表示,系数矩阵为取,2.就非齐次第三边值条件导出有限元方程.解:设方程为则由变分形式为:记则上述变分形式可表示为设节点基函数为则有限元方程为具体计算使用标准坐标.
