1.1 非对称弯曲

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1、第一章弯曲问题的进一步研究1.1非对称梁的正应力复习:1.材料力学（I）弯曲正应力公式的推导MyIZ2.弯曲正应力公式的适用条件对称弯曲纵对称面纵对称面F1F2FFR1轴线R2⑴横截面有对称轴⑵荷载作用在纵对称面内⑶轴线为纵对称面内平面曲线平面弯曲平面弯曲：：荷载作用在某纵向平面内荷载作用在某纵向平面内，，弯曲变弯曲变形后梁的轴线也变为该平面内的平面曲线形后梁的轴线也变为该平面内的平面曲线。。对称弯曲对称弯曲：：是平面弯曲的一种特殊情形是平面弯曲的一种特殊情形。。纯弯曲纯弯曲梁的变形梁的变形平面假设平面假设横截面在梁变形后仍横截面在梁变形后仍保持为平面保持为平面，，且与

2、变弯且与变弯的轴线垂直的轴线垂直，，只是绕截只是绕截面上某轴转动了一个角面上某轴转动了一个角度度。。中性层意义：中性层将梁分成两个区域：凹侧缩短受压，凸侧伸长受拉。中性轴中性轴中性层与横截面的交线中性层与横截面的交线。。中性轴意义中性轴意义————中性轴将横截面分成两个区域中性轴将横截面分成两个区域：：受拉区和受压区受拉区和受压区，，而中性轴上的正应力为零而中性轴上的正应力为零。。弯曲变形可看作横截面绕自己的中性轴转动弯曲变形可看作横截面绕自己的中性轴转动。。纯弯曲正应力推导纯弯曲正应力推导横截面横截面yy轴轴————对称轴对称轴zz轴轴————中性轴中性轴Ozyyy坐标相

3、同的点所在纵线坐标相同的点所在纵线变形相同变形相同，，因而应力相同因而应力相同，，y所以所以σσ==σσ((yy))ρdθdxOOyO′O′yb’b’bb1）几何方面yddybb的线应变d2）物理方面y当σ≤σpEE3.静力学方面yyEyFdAEdANAAdAF0ANEEydASz0AAzdAMy0S0zydAMMzA中性轴z通过横截面的形心。EEMyAzdAAyzdAIyz0I0y,z轴为一对形心主轴yzE2MzydAydAMAA44）

4、）弯曲正应力公式弯曲正应力公式MEy2dAA2IzydA惯性矩yAE1MEIz中性轴MyIZ弯曲正应力沿截面高度线性分布弯曲正应力沿截面高度线性分布，，中性轴中性轴上为零上为零，，距中性轴越远距中性轴越远，，数值越大数值越大。。任意非对称截面发生纯弯曲——正应力公式设横截面上只有弯矩——My、z为横截面上任意形心轴材料——线弹性范围MCz变形——平截面假设zMyyMEEyyEEEEFdANAECMzdAAzMEydAdA(y,z)A0y中性轴通过横截面的形心。(yzcot)siny

5、sinzcosEEEy(sinzcos)CMzzMydA(y,z)MzdAyAyMyAdzAE(ysinzcos)MzdAyAE(ysinzcos)MydAzAEy(sinzcos)EM(IsinIcos)yyzyEM(IsinIcos)zzyzEMIMIEMIzyMIyyzyzzyzsincos2III2IIIyzyzyzyz广义弯曲正应力公式My(zIzyIyz)Mz(yIyzIyz)2IIIyzyz中性轴方程0M(zIyI

6、)M(yIzI)0CMyzyzzyyzzzM中性轴与y轴夹角为ydA(y,z)zMIMIzyyyztanyyMIMIyzzyz•讨论1.广义弯曲正应力公式适用于任何形状的截面M(zIyI)M(yIzI)yzyzzyyz2IIIyzyzzMIMIzyyyztanyMIMIyzzyzy、z轴(y,z)坐标Iy、Iz、IyzMy、Mz应力最大点位置？•讨论•2.纯弯曲公式可以推广至细长梁的横力弯曲问题•3.若梁有纵对称面，且外力作用于纵对称面内。My=0Iyz0M(zIyI)M(yIzI)yzyzzyyz2IIIyzyzOz

7、MyzyIz•讨论•若梁无纵对称面，但外力作用在（或平行于）梁的形心主惯性轴平面内My=0Iyz0M(zIyI)M(yIzI)yzyzzyyz2IIIyzyzMyzIzzMIMIzyyyztan中性轴与y轴夹角为90oyMIyzMIzyz•讨论•若梁有纵对称面，但外力作用与梁纵对称面有一夹角MyMcosMzMsinIyz0M(zIyI)M(yIzI)yzyzzyyzO2IIIyzyzzMzMyyz斜弯曲IyIzyFMzMIIzyytan