奇数维可压缩液晶流方程解的逐点估计

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1、吴志刚：奇数维可压缩液晶流方程解的逐点估计我们赋予(1．1)以下初始值：p(X，0)：no(x)，u(x，0)=uo(x)，d(x，0)=do(x)，z∈Ⅱ．(1．2)对于可压缩模型(1．1)，最近也有很多重要的进展．Ding等人[9，10]给出了带真空的一维问题的弱解和经典解的整体存在性，在文献『l1]中对多维情形的不可压缩极限进行了研究．Huang等人【l21】考虑了三维情形时强解的整体存在性和爆破标准．Li等人[14】对初值的导数允许大的震荡时，得到了三维的带真空情形整体解的存在性和大时间行为．还有其他一些工作，Ya

2、ng等人[15]、Morro[16]和Zakharov—Vakulenko【17]分别在弱强唯一性、构造模型和数值分析方面进行了研究．本文主要对经典解的大时间行为感兴趣．当d三1，f1．1)为经典的可压缩Navier—Stokes方程组．对该方程组已有的许多重要研究，已经有很多重要的工作．我们只回顾与本文研究内容密切相关的一些工作．日s空间下小初值解的整体存在性可参见文献『l8—201，其中Kawashima[20】也得到了解的衰减估计．Hof和Zumbrun_211]进一步给出了解的LP(Rn)fP≥1)衰减估计．当考虑

3、外力时，最近Ukai等人[23]和Duan等人[24_25】得到了最佳和Lp—Lq衰减估计．而解的逐点估计是一种更精确的时空估计，它同时反映了解关于时间和空间的衰减行为，而通常的能量估计结合半群的方法只能得到解关于空间的一种平均信息(积分形式)．借助Green函数方法，在该方向已经有了一些有趣的结果．对一维的一般的双曲一抛物耦合系统，Liu和Zeng[26]给出了解的逐点估计．Liu和Wang对奇数维的可压缩的等熵Navier—Stokes方程组的解给出了逐点估计，表明解满足一般Huygens原理．而Wang和Yang[2

4、s】对偶数维情形也进行了研究．后来，Wang和Yang[29]，Wang和Wu[30]分别考虑了带阻尼的Euler方程组和带阻尼的Euler—Poisson方程组解的逐点估计．最近，对于双曲一抛物．椭圆耦合系统(Navier．Stokes—Poisson方程组)，Wang和Wu[31,32]得到了解的逐点估计．本文主要考虑液晶流模型(1．1)解的逐点估计，下面是本文的主要结果．定理1．1假设(P0一，mo)∈H+()，do∈Hs十f_(R)，>0，s=[詈]+1，1≥1，其中E0：：li(p0一，m0)l1日s+z(豫n)

5、+lIVdol1．s+z一(Rn)足够小．那么，存在唯一的整体经典解(P，m，d)满足(p，m，Vd)∈c。(Ⅱ+，H+(Ⅱ“)×H+(Ⅱ)×H+～(Ⅱ))进一步假设，n≥3为奇数，对I，l≤1和I，l≤f一1，Il。(p。一，m。)l+ll卢。(d。)l≤E。(1+Ixl2)一，r。>昙．(1．3)g／／_．，对II≤min{n，l一4}(1≥4)，有llaI(p一，m)l(z，)≤Ceo(1+￡)一型[B号(1I，t)+(1+t)-B号(Ii—ct,)]，(1．4)lVln(d)l(，)≤Ce0(1+￡)一B号(Il，

6、￡)，(1．5)其中B号(II，)=(1+l+t、J一号，c=、／丽>0．注1．1定理1．1表明，密度和动量同Navier—Stokes方程组一样满足一般Huygens原理，而单位向量场d的导数则没有这种现象，其有着与热方程的解类似的时空估计．808中国科学：数学第43卷第8期6其中f(d)=(Idl一1)d为Ginzburg—Landau近似函数，d不属于_。．那么，只要把定理1．1中的Vd0和Vd改为d0和d，定理1．1的结果可以完全应用到(1．6)，即可以得到d的逐点估计．符号本文中，用p，m，P表示通常的Rn上的L

7、ebesgue空间和Sobolev空间，Hm=m，一，其模分别为，I⋯，lHm．记V=(a⋯)，其中=如，并记f=鳄，I1=f，这里1=1，2，3，⋯总是设C或是一个一般的正常数(允许该常数在不同的地方取不同的值)．我们记关于变量的Fourier变换为(，)=(∈，t)=／f(x，t)e一~／√豫n其Fourier逆变换为(厂，)=(2丌)一／R(∈，t)e~／礼最后，为了方便，记fdx=，f．2整体存在性本节主要得到一个先验估计，然后利用标准的连续性技巧得到解的整体存在性．令p_÷+P，并定义函数(p)满足(p)=P(p

8、)．不失一般性，令卢=1，=1，=0．那么Cauchy问题(1．1)和(1．2)可写成Pt+div[(1+p)u]=0，毗斗钆Vu1)]1(Au+Vdivu)一南Vd．△d-(2．1)dt—Ad=一钆·Vd+lVdld，(P，u，d)(X，0)=(Po，11'0，d0)()．注2．1我们只需要作最低阶和