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《量子力学课件 周世勋2-7》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、一、参考模型无论在经典物理还是在量子物理中线性谐振子都是很有用的模型。任何体系在稳定平衡点附近的运动都可以近似地看作一维谐振子。如双原子分子的振动，晶体结构中原子和离子的振动，核振动等等都使用了谐振子模型，辐射场也可以看作线性谐振子的集合。以双原子分子为例：双原子分子中两原子间的势能U是两原子间距离x的函数，其形状如图所示。在x=a处势能有一极小值，这是一个稳定平衡点，在这点附近，U(x)可以展为(x−a)的幂级数，且注意到∂U=0x=a∂x12则：U(x)=U(a)+U''(a)(x−a)+....2!若忽略高次项，且令k=U''(a)12则有：U(x)=U(a)+k(x−a)212再令U(
2、a)=0；x'=x−a，则有U(x')=kx'，可以写成：212U(x)=kx(1)22其中k=μω。12凡是在势能为U(x)=kx的场中运动的微观体系都称之为2线性谐振子。二、线性谐振子的本征问题1.体系的哈密顿及本征方程22hd122Hˆ=−+μωx22μdx222hd122[−+μωx]ψ(x)=Eψ(x)22μdx22.本征方程的求解2方程两边同乘以得：hω2hdμω22E−ψ+xψ=ψ2μωdxhhωμω2E令α=；ξ=αx；λ=(2)hhω2d2得到：ψ(ξ)+(λ−ξ)ψ(ξ)=0(3)2dξ2d2由于方程ψ(ξ)+(λ−ξ)ψ(ξ)=0不能直接求解，可先2dξ2求ξ→±∞的渐进
3、解，此时由于λ与ξ相比可以忽略，则方程退化为：2d2ψ−ξψ=0—渐近方程(4)2dξ12±ξ其渐进解为：ψ(ξ)∝e2ξ→∞2−ξ/2由波函数的有限性(满足ψ(ξ)⎯⎯→⎯0)知，只能取ψ(ξ)∝e2d2的解，于是可以令方程ψ(ξ)+(λ−ξ)ψ(ξ)=0的一般解为：2dξ2−ξ/2ψ(ξ)=eH(ξ)(5)其中待求函数H(ξ)应满足条件：a.在ξ有限时H(ξ)应为有限；b.当ξ→±∞时，H(ξ)也必须保证ψ(ξ)有限，即ψ(ξ)→0。因为只有这样才能满足波函数的标准条件。2−ξ2/2d2将ψ(ξ)=eH(ξ)代入ψ(ξ)+(λ−ξ)ψ(ξ)=0中，有:2dξ2dHdH−2ξ+(λ−1)H=
4、0—厄密方程(6)2dξdξ为H(ξ)所满足的方程。2dHdH利用级数方法求解−2ξ+(λ−1)H=0，这个级数必2dξdξ须含有有限项，才能在ξ→±∞时使ψ(ξ)有限，而级数含有有限项的条件是λ为奇数，即：λ=2n+1n=0,1,2,...(7)2E而λ=，则一维线性谐振子的能级为：hω1E=(n+)hωn=0,1,2,...(8)n22dHdH其中−2ξ+(λ−1)H=0的解为厄密多项式，即：2dξdξnnξ2d−ξ2H(ξ)=(−1)ee(9)nndξ其中n表示H(ξ)的最高次幂，并且H(ξ)的最高次数项的系数nnn为2。例如：n=0,H(ξ)=1；0n=1,H(ξ)=2ξ,...；12
5、n=2,H(ξ)=4ξ−2；2dH(ξ)且H()n；ξ递推关系为：=2nH(ξ)nn−1dξH(ξ)−2ξH(ξ)+2nH(ξ)=0n+1nn−1于是得体系能量本征函数:2−ξ/2ψ(ξ)=NeH(ξ)nnn22−αx/2或ψ(x)=NeH(αx)(10)nnn+∞2α其中N为归一化常数，由ψdx=1可得：N=。n∫nnπ2n!−∞三、结果讨论1.能级1E=(n+)hωn=0,1,2,...n2(1)能量是量子化的，且相邻能级的间距ΔE=E−E=hωnn+1n即能级是等间距的。k这与Planck假设一致，能级均匀分布，式中的ω=是谐μ振子的经典固有圆频率，不是DeBroglie波的圆频率。1(
6、2)存在零点能E=hω（基态能量）。02在T=0时也有振动，这是旧量子论中没有的，已被实验所证实，这纯属量子效应，是由于微观粒子具有波粒二象性所导致的。22.波函数ψ(x)和几率密度ψ：nn22−αx/2ψ(x)=NeH(αx)n=0,1,2,...nnn(1)ψ(x→±∞)→0，满足束缚态定义，在一定范围内形成驻n波。(2)ψ（n=0,1,2,...）有n个节点，第n个波函数（ψ）有nn−1n−1个节点。n(3)宇称为(−1)：因H(αx)为x的n次多项式，当n为奇数时，只存在奇幂次；n当n为偶数时，只存在偶幂次。nn所以：ψ(−x)=(−1)ψ(x)，即宇称为(−1)。nn2(4)ψ有n+
7、1个极大值，有n个零点（与经典分布不同），分n布关于y=0对称。3.与经典振子的比较(1)以上特点不同于经典振子的性质，是源于微观粒子的波粒二象性。因量子振子要在一定范围内形成驻波，故波长、动量和能量2必分立，ψ有一系列的极大和零点，故有波动性，不可能静止于原点，固有零点振动，有零点能的存在。而对于经典振子，能量很大，对应于量子振子n很大的态，这时ΔE/E和E都小到nn0可以忽略，能量趋于连续，零
