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1、《《量子力学教程量子力学教程》》习题解答1《量子力学教程》习题解答说明•为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答共分七章，其中第六章为选学内容。•第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章2目录•第一章绪论•第二章波函数和薛定谔方程•第三章力学量的算符表示•第四章态和力学量的表象•第五章微扰理论•第六章弹性散射•第七章自旋和全同粒子3第一章绪论-301.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：lT=b,b=2.9´10m×C。m证明：由普朗克黑体辐射公式：38
2、phn1rdn=dn，n3hncekT-1cc及n=、dn=-dl得2ll8phc1r=，l5hclelkT-1hcdrl令x=，再由=0，得l.所满足的超越方程为lkTdlxxe5=xe-1hc-30用图解法求得x=4.97，即得=4.97，将数据代入求得lT=b,b=2.9´10m×CmlkTm41.2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求deBroglie波长.hh0-10解：l==»7.09´10m=7.09Ap2mE#31.3.氦原子的动能为E=kT，求T=1K时氦原子的deBroglie波长。2hhh-100解：l==
3、=»12.63´10m=12.63Ap2mE3mkT-27-23-1其中m=4.003´1.66´10kg，k=1.38´10J×K#1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量。（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。-23-1已知外磁场B=10T，玻尔磁子m=0.923´10J×T，求动能的量子化间隔DE，并与T=4K及BT=100K的热运动能量相比较。2p122解：（1）方法1：谐振子的能量E=+mwq2m2522pq可以化为+=122(2mE)æ2Eöç÷çmw2÷èø2E的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分
4、别为a=2mE,b=，相空间面积为2mw2pEEòpdq=pab===nh,n=0,1,2,Lwn所以，能量E=nhn,n=0,1,2,L2方法2：一维谐振子的运动方程为q¢¢+wq=0，其解为q=Asin(wt+j)速度为q¢=Awcos(wt+j)，动量为p=mq¢=Amwcos(wt+j)，则相积分为222222T2AmwTAmwTòpdq=Amwòcos(wt+j)dt=ò(1+cos(wt+j))dt==nh，n=0,1,2,L020222AmwnhE===nhn，n=0,1,2,L2T62mvmv（2）设磁场垂直于电子运动
5、方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由evB=，得R=ReB×22再由量子化条件òpdq=nh,n=1,2,3,L，以j,pj=mRv=mRj=eBR分别表示广义坐标和相应的广义动量，所以相积分为2pnh2pdj=pdj=2pmRv=2peBR=nh，n=1,2,L，由此得半径为R=，n=1,2,L。òjòj0eB2121æeBRö122nh电子的动能为E=mv=mç÷=eB=nmBç÷B22èmø2meB-23动能间隔为DE=mB=9´10JB-23热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为E=kT，所以当T=4K时，E=4.52´1
6、0J；当-21T=100K时，E=1.38´10J。71.5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子波长最大是多少？2ch解：转化条件为hn³mc，其中m为电子的静止质量，而n=，所以l£，即有eelmce-340h6.626´10l==l=»0.024A（电子的康普顿波长）。maxc-318mc9.1´10´3´10e8第二章波函数和薛定谔方程2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令rrY(r，t)=y(r)f(t)ir-Et=y(r)ehrih**J=(YÑY-YÑ
7、Y)2miiiiihr-Etr-Et**r-Etr-Et=[y(r)ehÑ（y(r)eh）-y(r)ehÑ（y(r)eh）]2mihr*r*rr=[y(r)Ñy(r)-y(r)Ñy(r)]2mr可见J与t无关。92.2由下列定态波函数计算几率流密度：1ikr1-ikr(1)y=e(2)y=e12rr从所得结果说明y表示向外传播的球面波，y表示向内(即向原点)传播的球面波。12rr解：J和J只有r分量12r¶r1¶r1¶在球坐标中Ñ=r+e+e0qj¶rr¶qrsinq¶jrih**(1)J=(yÑy-yÑy)111112mih1ikr
8、¶1-ikr1-ikr¶1ikrr=[e(e)-e(e)]r02mr¶rrr¶rrih111111r=[(--ik)-(-+ik)]r2202mrrrrrrhkrhkr=r=r203mrmrrrJ与r同向。表示向外传播的
