课件_ch01变分法简介

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1、第一章变分法简介1.1三个变分问题变分法的产生和发展，最初来自三大问题：最速降线问题，等周问题和测地线问题．意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题──“一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短”。他说这曲线是圆，可是这是一个错误的答案。瑞士数学家约翰．伯努利在1696年再提出这个最速降线的问题（problemofbrachistochrone），征求解答。次年已有多位数学家得到正确答案，这问题的正确答案是，连接两个点上凹的唯一一段旋轮线。旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的

2、摆线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，所以摆线(旋轮线)又称等时曲线。数学家十分关注最速降线问题，大数学家欧拉也在1726年开始发表有关论著，在1744年最先给了这类问题的普遍解法，并产生了变分法这一新数学分支。第一个变分问题：最速降线问题设不在同一铅直线上的两点A(0,0)与Bxy(,)，使一质点只在重力的影响下从A点11滑向B点，求所需时间最短的途径(摩擦和空气阻力不计)．约翰·伯努利在1696年6月号的《教师学报》上提出的作为向雅格布·伯努利和欧洲数学家挑战的最速降线问题，牛顿、莱布尼兹、洛比达、雅格布·伯努利和约翰·伯努利都得到了正确的

3、解答．是一条联结两点的旋轮线(又称圆滚线或摆线)．他们答案相同而解法各异．除雅格布的解法外，其他人的解法都发表在1697年5月号的《教师学报》上．后来欧拉和拉格朗日给出了这类问题的一般解法．在这个问题的解决过程中，显示了约翰的才能，他是通过机灵的直觉解决这个问题的．雅格布从另一个角度给出了一个较麻烦但更一般的解法．力学名家Isaac_NewtonLeonhardEulerLangrange第一个变分问题：最速降线问题没有摩擦，由机械能守恒可以得到12mgy=mv于是vg=2y22æöçdy÷曲线yyx()的元弧长ds=+1çç÷÷÷dxçèødx2ds1+

4、ydx¢从而滑过ds路程的时间dt==v2gy所以从A到B所需要时间为2Tx11(+yx¢)Td==òòtdx002()gyx要求T最小，即求T的极值，而求T的极值涉及泛函数及其变分。第一个变分问题：最速降线问题在满足yy(0)==0,()xy的一切yx()函数中，11选取一个函数使式的泛函T为最小值。注1：边界已定的变分，yy(0)==0,()xy11注2：一阶导数yx¢()存在，起码分段连续；注3：是个无条件变分问题，除端点的边界条件外，没有其他条件。经过求解可得，最速降线为圆滚线CCxy=-(sqqin),(=-1cosq)22C其中，为圆滚线半径，由

5、该线所通过Bxy(,)点确定。112第二个变分问题，短程线问题在凸曲面上求两点间的最短弧问题约翰与他的哥哥雅格布还对测地线问题进行了研究．测地线是指曲面上两点间长度最短的路径．1697年，约翰在《博学杂志》(Journaldesscavans)中，提出了在凸曲面上求两点间的最短弧问题，1698年8月26日，他还写信给莱布尼兹，谈到他觉察到的测地线的特有的性质．1698年，雅格布解决了锥面和旋转面上的测地线问题，1728年约翰又用雅格布的方法取得了一些进展，并且求得了另外几类曲面的测地线。曲面j(,,)0xyz=上Axyz(,,)和Bxyz(,,)两点之间的路

6、程11122222xæöæö2ççdyx()÷÷dzx()Lyxzx((),())=++ò1çççç÷÷÷÷÷÷dxx1ççèøèødxdx其中，函数yyxzzx==(),()满足条件j(,,)0xyz=第二个变分问题，短程线问题在yyxzzx==(),()满足j(,,)0xyz=的条件下，从一切yyxzzx==(),()的函数中，选取一对yyxzzx==(),()，使泛函L为最小。注1：有两个可以选取的函数yyxzzx==(),()注2：也是边界已定的变分，yx()====yzx,()zzx;()zzx,()z11112222注3：yyxzzx==(),(

7、)之间必须满足j(,(),())xyxzx=0，是有条件变分问题。第三个变分问题：等周问题在1697年5月号的《教师学报》上，雅格布·伯努利提出了一个含几种情形的相当复杂的等周问题(即在给定周长的所有封闭曲线中求一条曲线，使得它所围的面积最大，它跟物理学上的最小作用量原理有关)，作为向约翰的挑战．虽然圆看似是问题的表面答案，但证明此事实其实不易。约翰开始过低地估计了这个问题的复杂性，没有弄清这个变量问题的特性，所以在1697年和1701年两次给出的解答都没有得到成功，这受到了雅格布无情的批评．1700年5月雅格布在《教师学报》上发表了关于等周问题的解，指出这

8、条曲线是一个圆．1718年，约翰继续研究了等周问题，