数学模型1-1线性规划模型

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1、第一章线性规划模型•应用最广泛的方法之一。•最基本的方法之一。网络规划，整数规划，目标规划和多目标规划都是以线性规划为基础的。•解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出的费用最小或获得的收益最大。历史背景•1939，康托洛维奇(KOHTOPOBUZ)，“生产组织与计划中的数学方法”，“解乘数法”。•1947，G.DANTZIG，“单纯形法”。•1960,康托洛维奇和库伯曼斯(Koopmans)“最佳资源利用的经济计算”,两人因对资源最优分配理论的贡献而获1975年诺贝尔经济学奖。历史背景(Cont.)•冯•诺伊曼(VonNeuman)和摩根斯坦(Morge

2、nstern)1944年发表的《对策论与经济行为》涉及与线性规划等价的对策问题及线性规划对偶理论。•从1964年诺贝尔奖设经济学奖后，到1992年28年间的32名获奖者中有13人(40%)从事过与线性规划有关的研究工作，其中比较著名的有Simon，Samullson，Leontief，Arrow，Miller等。线性规划的数学模型例1、生产计划问题AB备用资源煤1230劳动日3260仓库0224利润4050A,B各生产多少,可获最大利润?设产品A,B产量分别为变量x1，x2x1+2x2303x1+2x2602x224x1，x20maxZ=40x1

3、+50x2例2原料ABＣ每单位成本14102261253171642538每单位添加剂中维生12148素最低含量求：最低成本的原料混合方案设每单位添加剂中原料i的用量为xi(i=1,2,3,4)minZ=2x1+5x2+6x3+8x44x1+6x2+x3+2x412x1+x2+7x3+5x4142x2+x3+3x48xi0(i=1,…,4)线性规划模型特点•决策变量：向量(x…x)T决策人要考虑1n和控制的因素非负•约束条件：线性等式或不等式•目标函数：Z=ƒ(x1…xn)线性式，求Z极大或极小一般式Max(min)Z=CX+CX+…+CX112

4、2nnaX+aX+…+aX(=,)b1111221nn1a21X1+a22X2+…+a2nXn(=,)b2………………am1X1+am2X2+…+amnXn(=,)bmX0(j=1,…,n)j9隐含的假设•比例性：决策变量变化引起目标的改变量与决策变量改变量成正比•可加性：每个决策变量对目标和约束的影响独立于其它变量•连续性：每个决策变量取连续值•确定性：线性规划中的参数a,b,cijii为确定值线性规划的标准型MaxZ=C1X1+C2X2+…+CnXnaX+aX+…+aX=b1111221nn1a21X1+a22X2+…+a2nXn=b2

5、…………am1X1+am2X2+…+amnXn=bmX0(j=1,2,…,n)j如何划为标准型•约束条件•变量•目标函数约束条件引入松弛变量，把不等式条件化为等式条件例1maxZ=40X1+50X2+0·X3+0·X4+0·X5X1+2X2+X3=303X1+2X2+X4=602X2++X5=24X1,…,X50无约束变量的处理3X+2X812X1-4X214X20令X1=X1'-X1"3X1'-3X1"+2X28X1'-X1"-4X214X1',X1",X20极小化为极大例：将minZ=-X1+2X2-3X3X1+X2+X37X1-X

6、2+X32X1，X20，X3无限制化为标准型①令X3=X4-X5②加松弛变量X6，X7③令Z'=-ZmaxZ'=X1-2X2+3X4-3X5X1+X2+X4-X5+X6=7X1-X2+X4-X5-X7=2X1,X2,X4,…,X70