高等数学-概率6.4正态总体

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1、第六章第四节正态总体统计三大分布记为分布一、定义:设相互独立,都服从正态分布N(0,1),则称随机变量：所服从的分布为自由度为n的分布.分布是由正态分布派生出来的一种分布.分布的密度函数为来定义.其中伽玛函数通过积分请看演示分布由分布的定义，不难得到：1.设相互独立,都服从正态分布则2.设且X1,X2相互独立，则这个性质叫分布的可加性.应用中心极限定理可得，若，则当n充分大时，若的分布近似正态分布N(0,1).则可以求得，E(X)=n,Var(X)=2n若χn2分布的密度函数的图形如右图.χn2分布的上分位点可以查附表4(P2

2、34).χn2分布的上分位点图形如右图.χ2分布的分位点对于(0,1)给定,称满足条件:的点χn2()为χn2分布的上分位点.T的密度函数为：所服从的分布为自由度为n的t分布.定义:设X～N(0,1),Y～,且X与Y相互独立，则称变量二、t分布记为T～.具有自由度为n的t分布的随机变量T的数学期望和方差为:E(T)=0;Var(T)=n/(n-2),对n>2当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形.t分布的密度函数关于x=0对称，且不难看到，当n充分大时，t分布近似N(0,1)分布.但对于较小的n，t分布与

3、N(0,1)分布相差很大.请看演示t分布T～tn,对于(0,1)给定,称满足条件:t分布的分位点的点tn()为t分布的上分位点.t分布的上分位点图形如右图.t分布的上分位点可以查附表3(P232).三、F分布定义:设X与Y相互独立，则称统计量服从自由度为n1及n2的F分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作F~.由定义可见，~即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.X的数学期望为:若n2>2若X~，X的概率密度为请看演示F分布F～Fm,n,对于(0,1)给定,称满足条件:F分布的分位点的点Fm,n()

4、为F分布的上分位点.F分布的上分位点图形如右图.F分布的上分位点可以查附表5(P237).当总体为正态分布时，教材上给出了几个重要的抽样分布定理.这里我们不加证明地叙述.除定理2外，其它几个定理的证明都可以在教材上找到.四、几个重要的抽样分布定理定理1(样本均值的分布)设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本，则有n取不同值时样本均值的分布定理2(样本方差的分布)设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有n取不同值时的分布定理3设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样

5、本方差,则有定理4(两总体样本均值差的分布)分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值,则有Y1,Y2,…,是样本定理5(两总体样本方差比的分布)分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值，则有Y1,Y2,…,是样本假设某物体的实际重量为,但它是未知的.现在用一架天平去称它,共称了n次,得到X1,X2,,Xn.假设每次称量过程彼此独立且没有系统误差,则可以认为这些测量值都服从正态分布N(,

6、2),方差2反映了天平及测量过程的总精度.通常我们用样本均值:根据基本定理,例1例如=0.1时,若取n=10.则:下面讨论估计值,即样本均值与真值的偏差.于是根据第二章讲过:随着称量次数n的增加,这个偏差界限还是=0.1时,若取n=100.则:越来越小.在设计导弹发射装置时,重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差.对于一类导弹发射装置,弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布N(,2),这里2=100米2.现在进行了25次发射试验,用S2记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差.求:S2超过50米

7、2的概率.例2根据基本定理查P234附表4,得到:解:本章小结一、总体，样本，样本的分布二、统计量及其分布1.几个常见统计量2.统计三大分布样本均值,样本方差,样本k阶原点矩,样本k阶中心矩分布,t分布,F分布3.抽样分布设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,则