基于一种新的集合插值的非凸紧集的细分概型pdf

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1、高校应用数学学报A辑Appl.Math.J.ChineseUniv.Ser.A2006,21(1):105-117基于一种新的集合插值的非凸紧集的细分概型杨艳,吴宗敏(复旦大学数学系,上海200433)摘要:对Artstein给出的度量平均的定义作了改进,给出一种新的集合插值,并基于这种新的集合插值,对相应的关于一般紧集的样条细分和插值细分分别作了研究,并给出了细分的收敛性性质.与此同时,将这种新的集合插值与基于度量平均的插值及基于Minkowski平均的插值分别作了比较,可以看出新的集合插值在某些方面具有

2、更好的物理性质.关键词:集合值样条;集合插值;样条细分;插值细分中图分类号:TP391.72文献标识码:A文章编号:1000-4424(2006)01-0105-13H1问题的背景对紧集细分概型的研究是由固体的复原和重构问题引出来的,特别是利用三维物体的二维切片对三维物体进行重构.比方说,医学上在设计外科整形手术I肿瘤切除手术(这里肿瘤的大小I形状I位置必须被准确计算出来,以便更准确的设计放射方案)I牙科手术等等都会遇到重构问题.在此之前有很多专家作过这一方面的研究,比如SJhKLakerM1N.而本文中我

3、们主要是利用细分的方法I集合值函数来研究这一方面的问题.一般的,每一个O维的物体都可以看作是一个一元的投影在OP1维紧集上的集合值函数,而这个集合值函数就是给定样本集(切片)的一个拟合.这里所用的拟合方法是细分方法,特别是紧集的样条细分和插值细分,是一般的细分方法在紧集上的扩展.当给定的样本集QR0为标量值时,U阶样条细分为:RVMUNVP1STSWXSP2YRY,SZ[,VW1,2,YZ[3,],其中bU^1U2,SZQ0,1,],U^1TMUNSWa_S‘c0,SZ[dQ0,1,],U^1e令RVV

4、显然,RV可以由以下一系列的二元平均得到:WQRSfSZ[Tgh.收稿日期:2004-03-14高校应用数学学报A辑第21卷第1期106算法1:(1)令k,0k-1k,01k-1k-1f2α=fα,f2α+1=(fα+fα+1),α∈Z.2k,j1k,j-1k,j-1(2)当1≤j≤m-1时fα+1=(fα+fα+1),α∈Ij,其中22=Z,j为奇数,Ij=<1Z╲Z,j为偶数.=2(3)最后,令kk,m-1当m为奇数,α∈Z,fα=fαkk,m-1当m为偶数,α∈Z.fα=fα-12注意到Chaikin

5、算法就是当m=2时的特殊情况:k1k-13k-111k-1k-1k-1f2i=fi-1+fi=[(fi-1+fi)+fi],4422k3k-11k-11k-11k-1k-1f2i-1=fi-1+fi=[fi-1+(fi-1+fi).]4422-k-k对于任意的k,相应的分段线性插值函数为fk(t)=1-t-2αkt-2αk-kfα+-kfα+1,(2)(2)-k-kkk中相邻元素的插值.α2≤t≤(α+1)2.可以看到f(t)是f因此如果想将一般的样条细分扩展到样本数据为紧集的情况,首先必须考虑以下的问题:

6、1.如何给出两个紧集的插值函数.2.如何给出细分概型的收敛性性质.3.极限函数的物理意义是什么.在这一方面Dyn等人已经做了大量的工作.当初始样本集为凸紧集时,Dyn等人在样条细分概型中引入基于Minkowski平均的插值(参见[2]).其中紧集A,B的加权值为t的Minkowski平均定义如下:(1-t)A+tB={(1-t)a+tb:a∈A,b∈B}.可以证明,与标量情况相类似,以上概型收敛于一个集合值函数,该函数可以写成系数集为初始样本集的B-样条函数的线性相合,且具有保单调性和保凸性(详情请见[2]

7、).例如图1.图1基于Minkowski平均的插值,从左到右依次为A,0.7A+0.3B,0.3A+0.7B,B杨艳等:基于一种新的集合插值的非凸紧集的细分概型107当初始数据为非凸紧集时,Dyn等人[2]指出,此时基于Minkowski平均的样条细分会使结果变得很"大",例如图2.图2基于Minkowski平均的插值,从左到右依次为:A,0.7A+0.3B,0.3A+0.7B,B为了解决这个问题,Dyn等人用[3]中给出的度量平均来代替Minkowski平均[4].紧集A,B的加权值为t的度量平均定义如下

8、:A㊉tB={(1-t){a}+t∏(a):a∈A∪}{(1-t)∏(b)+t{b}:b∈B,}BA其中∏(a)为B中与a距离最近的点的集合,详细的情况将在下面的章节中介绍.Dyn等B人[4]证明,这样的概型也是收敛的,结果比基于Minkowski平均得到的结果理想,例如图3.图3基于度量的平均插值,从左到右依次为:A,A㊉0.3B,A㊉0.7B,B然而,度量平均在某些情况下也会使得结果很不理想,比方说当要复原一