以微積分的方法求四邊形面積公式

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1、以微積分的方法求四邊形面積公式張海潮三角形被三個邊長完全確定,四邊形則否。有名的海龍公式告訴我們如何利用三個邊長來計算三角形的面積。至於四邊形求面積的公式,不能只用四個邊長,還要加上頂角的角度,公式由Bretschneider在1842年提出(註一)。如果四個邊長依序為a,b,c,d,而相關的頂角分別為A,B,C,D(如圖一)Ba.....A.............b....d..............................................................

2、.............................................................................................................................................................................................................................................................

3、.......................................................................DcC圖一則此四邊形的面積△的平方可以表為B+D22△=(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)−abcdcos.2其中s是週長的一半。如果以s=a+b+c+d代入整理,可以將Bretschneider公式寫成21B+D22△=(a+b+c−d)(b+c+d−a)(c+d+a−b)(d+a+b−c)−abcdcos162一個重要的結果是,當此四邊形內接於

4、一個圓的時候,由於B+D=180◦,因此面積會最大,1並且面積的平方就是(a+b+c−d)(b+c+d−a)(c+d+a−b)(d+a+b−c)。165960數學傳播27卷4期民92年12月有關Bretschneider公式,蔡聰明在他的書中用平面幾何的方法給了完整的證明(註一)。本文嘗試用微積分的辦法來得出相同的公式,想法來自微積分基本定理—我們想要求一個圖形的面積,不妨把面積對某個參數微分,看看能得出什麼,然後再積分(反微分)回去,積分回去的時候,會生出一個不定常數,再想辦法確定這個常數。在本文中

5、,四邊形的的四個邊長a,b,c,d給定,它的面積以△表示,(如圖二)參數就是角B,至於角D,它被B所決定,因此可以看成是B的函數Ba........................b..l....d..........................................................................................................................................................

6、.........................................................................................................................................................................................................................................................Dc圖二

7、我們先把△寫成11△=absinB+cdsinD22則有d△11dD=abcosB+cdcosDdB22dB因為22222l=a+b−2abcosB=c+d−2cdcosD微分之後有dDabsinB=cdsinD(1)dB現考慮d△1dD△=(absinB+cdsinD)(abcosB+cdcosD)dB4dB將(1)代入得d△1dDdD△=cdsinD+cdsinDabcosB+cdcosDdB4dBdB1dDhdDi=+1cdabsinDcosB+cdsinDcosD4dBdB以微積分

8、的方法求四邊形面積公式611dD(再將(1)代入)=+1cd[absinDcosB+absinBcosD]4dB1dD=+1abcdsin(B+D)4dB−1d=abcd(cos(B+D))4dB所以d1d2(△)=−abcdcos(B+D)dB2dB因此21△=K−abcdcos(B+D)(2)2其中K=K(a,b,c,d)是一個待定的常數。如何決定K?當然要選一個特別的角B代入,一般會想到讓B+D=180◦。此時△就是內接於一圓時四邊形的面積