積分和微積分基本定理 - Department of Physics， NTHU.doc

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1、積分和微積分基本定理一、定積分：定積分（definiteintegral）就是求面積，因此毫無神秘性可言，只是數學家用了一個古怪的名詞有點嚇人而已。我們買房子的時候，第一件關心的事情不就是房子的坪數嗎？所以自從遠古的時候，人們就已經在接觸這個問題了，它隨時在我們的日常生活中出現。直到很後來人們才開始關心速度的觀念，因此在微積分中，積分是遠要比導數更古老的問題。不過，要得到準確的面積值卻也不是一件簡單的事情。一般而言，大概只有對於用直線或是用圓弧圍起來的面積才辦得到。而用複雜一點的曲線所圍的區域，就會令人束手無策了。積分的目的就是

2、要解決這個問題。讓我們先來看一個比較簡單的問題。考慮如圖1的區域，三邊是互相垂直的直線，而一邊則是一條曲線，假設這條曲線可以以函數x=f(t)，a≦t≦b，來表示。我們目前能做的最好的事情大概就是求一下這塊面積的近似值。把a到b間分成n段小線段：在每一個小線段中，任取一點；我們以函數值為高，為底作一小長方形，然後把這些小長方形的面積加起來，這是可以辦得到的。很明顯而且也很容易證明，如果每一段取得越小，則這些小長方形的面積和越接近我們所要求的面積A。即：(1)萊布尼茲於是就介紹了一個特殊的符號：當每一段很小時(2)用∫的原因是因為

3、A是一種把每段都取很小時無限多項的變形和，所以就把和的符號Σ拉長了，而將它稱之為定積分。那麼它要如何加呢？這點我們下文再討論。目前我們只要記得這個奇怪的符號（尤其先不要管那個）只是代表面積就行了。要強調的是，這樣的處理方式並不只在面積問題上出現，它幾乎是無所不在的。在普通物理中，『功』是一個重要且有用的觀念。考慮一個物體在一條直線上受力f的作用移動Δx距離，則我們說，力f對這物體所作的功是f×Δx。但是如果這個力隨著位置在變化時f=f(x)，那麼當這物體由a點移動到b點的時候，這個力所作的功是多少呢？答案顯然是：我們將[a，b]

4、之間分成很多小位移：每個小位移分割得足夠小，使得在這小位移間的力幾乎可以視為不變，然後我們求每一小段之間的功，再加起來：它就差不多會等於我們所想要的功了。比較一下這個公式與面積公式，可說是完全一樣的。所以當每段都取得很小的時候，我們就可以利用萊布尼茲的符號寫下功的公式：這樣的例子在普通物理之中可說是俯拾皆是的，各位應該可以舉一隅而以三隅反。由此可以看出萊布尼茲的符號是普遍適用的，它可以將許多來源不同東西連貫在一起，一舉解決很多問題。一、一些例子現在我們來看看像(1)這樣的和要怎麼加？先來看最簡單的例子。例1：直線這是一個小學生的

5、題目，答案顯然是不過我建議各位用小長方形的方法做做看，雖然很笨拙，但是可以用來熟悉一下積分的涵義。例2：圓這題目也不難，因為答案是半圓的面積，是一般的常識，故但是沒有人能夠用小長方形的方法得到這個答案。例3：拋物線這題目沒有現成的答案，我們只有用小長方形的方法求求看了。完全為了方便的緣故，我們將線段[0,b]分成n等份，每段，再選取，故例3：要使很小，只要使n很大即可，所以項俱可忽略，故這就是拋物線在[0,b]之間的面積。練習1：證明但是不幸的是，除了這些例子之外，我們很難再用加小長方形面積的方法求任何面積了。一般而言，這幾乎是

6、件不可能的任務。拋物線的面積基本上是紀元前250年左右由阿幾米德解決的。不過阿幾米德並不懂解析幾何這樣的高等數學，所以不像我們在例3那麼輕鬆，他算出拋物線面積的困難度是超乎我們想像的。然而在他之後將近兩千年的時間中，這個算面積的問題就一直停滯不前毫無進展，直到牛頓和萊布尼茲發現了所謂的『微積分基本定理』才峰迴路轉有了突破。正是「山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村。」一、微積分基本定理如果我們在數學家中作一個民調，請他（她）們在多如過江之鯽的數學定理中選出一個他（她）們心目中最重要的定理，我敢打賭有九成以上數學家會選微積分基本定理。的

7、確，任何人在了解這個定理之後，就像打通任督二脈一樣，會脫胎換骨似的使數學功力大進。這個定理的特別之處，是它很不容易被想到或發現。因為它將兩個看起來毫不相干的概念，速度和面積，聯繫在一起，從而發揮了無與倫比的威力，但也因此隱藏了將近兩千年，而沒有被牛頓和萊布尼茲以前的數學天才所發現。不過說也奇怪的是，一旦你想到了這個聯繫，要去理解或是去證明，卻不是一件困難的事情，這真是「眾裏尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處。」下面我們就來看看微積分基本定理。對於一個定義在[a,b]間的函數f(t)，我們考慮如圖2所示的面積。這個面積的大

8、小顯然隨著t變化，因此它是一個t的函數，稱之為面積函數F(t)。於是如下的關係便成立：(3)這個不起眼的公式就是微積分基本定理了。用萊布尼茲的符號來寫就是：(4)也就是說，一個函數求完定積分之後再求導數，便會回到其本身。用大白話來說就是，求面積和求速度就如同乘法