习题答案第5章 时变电磁场和平面电磁波

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1、第5章时变电磁场和平面电磁波5.1/5.1-1已知z2=1+j，求复数z的两个解。jπ[解]z2=1+j=2e4πο4j8j22.5z=2e=1.189e=1.099+j0.4551οj22.5z=−1.189e=−1.099−j0.45525.2/5.1-2已知α是正实数，试证：⎛jα⎞(a)若α<<1,1+jα≈±⎜1+⎟;⎝2⎠⎛jα⎞(b)若α>>1,1+jα≈±⎜1+⎟;。⎝2⎠[解](a)α<<1:11(2jtan−1α)2(jα)2⎛αα⎞⎛α⎞1+jα=1+αe≈e=±⎜cos+jsin⎟≈±⎜1+j⎟⎝22⎠⎝2⎠(b)α>>1:112jtan−1α

2、2⎛jπ⎞2⎛ππ⎞1+jα=(1+αe)≈αe2⎟=±αcos+jsin⎟⎜⎜⎝⎠⎝44⎠α=±(1+j)25.3/5.1-3设E（t）的复振幅为E&=e+je，H（t）的复振幅为H&=h+jh，试证iiE(t)H(t)≠Re[E&H&ejωt]，并求E（t）、H（t）。jωt1jωt∗−jωt[解]E(t)=Re[E&e]=(E&e+E&e)2()1(jωt∗−jωt)Ht=H&e+H&e21∗∗j2ωt∗∗−j2ωt得E(t)H(t)=(E&H&+E&H&+E&H&e+E&H&e)4=1Re[E&H&∗+E&H&ej2ωt]≠Re[E&H&ejωt]2()[()

3、jωt][()()]Et=Ree+jee=Ree+jecosωt+jsinωt=ecosωt−esinωtiii1()[()jωt]Ht=Reh+jhe=hcosωt−hsinωtii()()22EtHt=ehcosωt+ehsinωt−ehcosωtsinωt−ehcosωtsinωtiiii1=[eh+eh+(eh−eh)cos2ωt−(eh+eh)sin2ωt]iiiiii2可见,为恒定成分与二倍频成分的叠加.5.4/5.1-4将下列场矢量的瞬时值变换为复矢量，或作相反的变换：(a)E(t)=xˆEsin(ωt−kz)+yˆ3Ecos(ωt−kz)；00⎡⎛π⎞

4、⎤(b)E(t)=xˆ⎢E0sinωt+3E0cos⎜ωt+⎟⎥；⎣⎝6⎠⎦&−jkz(c)H=(xˆ+jyˆ)e；&−jkzsinθ(d)H=−yˆjHe。0π&−j[解](a)E=xˆEe−jkze2+yˆ3Ee−jkz=(−jxˆ+yˆ3)Ee−jkz000ππ⎡⎤&⎡−jj⎤⎛31⎞⎛331⎞(b)E=xˆ⎢Ee2+3Ee6⎥=xˆE⎢−j+3⎜+j⎟⎥=xˆE⎜+j⎟000⎜22⎟0⎜22⎟⎣⎦⎢⎣⎝⎠⎥⎦⎝⎠⎛π⎞(c)H(t)=xˆcos(ωt−kz)+yˆcos⎜ωt−kz+⎟=xˆcos(ωt−kz)−yˆsin(ωt−kz)⎝2⎠⎛π⎞(d)H(t

5、)=yˆH0cos⎜ωt−kzsinθ−⎟=yˆH0sin(ωt−kzsinθ)⎝2⎠5.5/5.2-1已知自由空间某点的电场强度E(t)=xˆEsin(ωt−kz)(Vm)，求0(a)磁场强度H(t)；αv(b)坡印廷矢量S(t)及其一周T=2π/ω内的平均值S。[解](a）()[&jωt]k⎛π⎞E0()Ht=ReHe=yˆE0cos⎜ωt−kz−⎟=yˆsinωt−kzωµ0⎝2⎠η02ωµωµµ000式中===η0kωµ0ε0ε022EE020(b)S(t)=E(t)×H(t)=xˆ×yˆsin(ωt−kz)=zˆ[1−cos2(ωt−kz)]η2η002av

6、1TE0S=∫S(t)dt=zˆT02η05.6/5.2-2对于非均匀的各向同性线性媒质，请导出其无源区电场强度复矢量的波动方程。[解]无源区限定形式麦氏方程为&&∇×E=−jωµH(1)&&∇×H=jωεE(2)∇⋅(εE&)=0,即ε∇⋅E&+E&⋅∇ε=0(3)∇⋅(µH&)=0(4)&&由(1),∇×∇×E=−jω∇×(µH)∇(∇⋅E&)−∇2E&=−jω(µ∇×H&+∇µ×H&)⎛&∇ε⎞2&2&&利用(2)(3)后,∇⎜E⋅⎟+∇E=−ωµεE+jω∇µ×H⎝ε⎠再利用(1)式代入,得2&2&⎛&∇ε⎞∇µ&∇E+ωµεE+∇⎜E⋅⎟+×∇×E=0⎝ε⎠

7、µ5.7/5.3-1设真空中同时存在两个时谐电磁场，其电场强度分别为E&=xˆEe−jk1z，E&=yˆEe−jk2z，110220试证总平均功率流密度等于两个时谐场的平均功率流密度之和。22avE10avE20[证1]S=zˆ，S=zˆ122η2η0022avE10+E20avav故S=zˆ=S+S122η03&ˆ−jk1z&1ˆ&ˆE10−jk1z[证2]E=xEe，H=z×E=ye11011ηη00&ˆ−jk2z&1ˆ&ˆE20−jk2zE=yEe，H=z×E=−xe22022ηη00⎡2⎤2av⎡1&&∗⎤E10E10S1=Re⎢E1×H1⎥