376以复变分析解析三角函数由

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1、提要376：以複變分析解析三角函數由0至2π的線積分問題(5)第1~2頁的說明與前一單元相同。亦即有一類的線積分問題與三角函數sinθ、cosθ有關，其積分型態如以下所示：2πI=∫F()cosθ,sinθdθ(1)0這一類問題若欲直接對變數θ作積分，通常會遭遇很多困難。但若將其轉換為與複數變數z有關之線積分，則容易許多，說明如下。iθ已知在如圖一所示複數平面上之任意點均可表為z或re，其中r稱為大小(Magnitude)，θ稱為幅角(Argument)：圖一複數平面上任意點之表達方式只要將圖一中之角度變數θ作0至2π的角度

2、變化，即可形成如圖二所示之圓。亦iθ即z=re僅表示一個點，但式(2)表示一個圓心在座標原點半徑為r的圓：iθz=re、0≤θ<2π、r=定值(2)圖二將圖一中之角度變數θ作0至2π的角度變化所形成的圓若考慮式(2)中之r=1，即令：iθz=e、0≤θ<2π(2)則式(1)中與變數θ有關之積分可改寫為對變數z作單位圓（UnitCircle，圓心在座標原點半徑為1之圓）之積分，其變數轉換關係如下：1()iθ−iθ1iθ111cosθ=e+e=e+iθ=z+22e2z1()iθ−iθ1iθ11

3、1sinθ=e−e=e−iθ=z−(3)2i2ie2zdzdθ=iz基於此，式(1)可改寫為：z+(1z)z−(1z)dzdzI=∫F,=∫f()z(4)22iizizCC現在所面對的問題又是一個與複變函數f(z)之封閉曲線C的線積分有關之問題，那以前所學過的各種解析方法都可再加以應用。作者擬以五個相關範例說明其應用，以下為第五個應用範例之說明。範例一2πcos3θ試求∫dθ之積分值。5−4cosθ0【解答】iθ由式(2)之說明知，可作z=e的變數變換，將對變數θ作[0,2π]之線積

4、分的問題改寫為對複數變數z作單位圓的線積分問題。但有一個比較麻煩的問題是：cos3θ要如何iθ13iθ−3iθiθ表示成與z=e有關之關係式？因為cos3θ=(e+e)，且考慮z=e，所以231iθ3−iθ3131131cos3θ=[]()()e+e=z+=z+3。基於此，原式可作如以下所示之22z2z改寫：1312πz+3cos3θ2zdz∫dθ=∫5−4cosθ11iz0C5−4z+2z31z+1z3=∫dzi1C10−4z+z

5、z31z+iz3=dz2∫4iC10−4z−zz6z+1=−idz∫342(10z−4z−4z)zC6z+1=−idz∫232(−2z+5z−2)zC6i(z+1)(5)=dz∫32z(2z−1)(z−2)C其中封閉積分路徑C是圓心在座標原點半徑為1之圓，稱為單位圓(UnitCircle)，如圖三所示。圖三圓心在座標原點半徑為1之單位圓6i(z+1)緊接著是要找出函數f()z=落在封閉曲線C內之極點(Pole)。令函322z(2z−5z+2)32數f()z之分母為零，即可解出一元五次方程式2z(2z−5z+

6、2)=0之根，分別為z=2、12、0，其中z=2落在曲線C之外，但z=0與z=12卻落在曲線C之內部，需特別加以留意，如圖四所示：圖四z=12與z=0落在C內因z=12與z=0分別屬於函數f(z)之單極點(SimplePole)與三階極點(PoleofOrder3)，且都落在C之內部，故∫f()zdz=∫f(z)dz+∫f(z)dz【附註一】，以下為問題CC1C2之進一步解析過程。g(z)1()n方法一利用廣義之Cauchy積分公式dz=2πig()z、∫(z−z)n+1n!0C0n=0,1,2,3,L求解，條件為：åg(z

7、)在C上及C內都是解析的；çz為C內0之n+1階極點。由附註一知，式(5)可繼續化簡如下：2π6cos3θi(z+1)dθ=dz∫5−4cosθ∫2z3(2z−1)(z−2)0C(6)66i(z+1)i(z+1)=dz+dz∫2z3(2z−1)(z−2)∫2z3(2z−1)(z−2)C1C2其中C與C分別為圍繞z=0與z=12之封閉積分曲線，如圖五所示。12圖五由對等路線積分及Cauchy積分定理等之概念知：∫f()zdz=∫f(z)dz+∫f(z)dzCC1C2由Cauchy積分公式知：6i(z+1)dz∫322z(2z−

8、5z+2)C16i(z+1)22(2z−5z+2)=dz∫3zC1261di(z+1)=2πi222!dz2(2z−5z+2)z=056d6izi(z+1)(4z−5)=πi2−22dz2(2z−5z+2)2(2z−5z+2)z=04566230iz6iz(4z−