利率期限结构经典论文集

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1、第32卷第4期数学进展V01.32,N..92003年8月ADVANCESINMATHEMATICSAug.,2003最小数学期望与倒向随机微分方程李娟’，陈增敬‘，尉永青2(1山东大学数学与系统科学学院济南，山东，250100，中国2.山东公安专科学校，济南，山东，250014中国)摘要:本文讨论了如何用倒向随机徽分方程(BSDE〕来计算一类最小数学期望;证明了对Brown运动，最小数学期望算子仍然保留了数学期望算子的某些性质.指出了最小数学期望笠子5粉旁如望盆千的慈必不同少孙关镇询倒向随机做分方程(BSDE);最小数学期望;最小条件数学期望MR(199

2、1)主皿分类60H10;60A10/中图分类号:0152文献标识码:A文章编号:1000-0917(2003)04-0449-051引言最小数学期望的研究首先开始于经济理论的研究.众所周知，经济理论中的一个重要的研究课题是如何度量不确定环境下人们的偏好(preference)问题.最早的方法是Von-Neumann等人提1H的〔数学)期望效用((expectedutility)法，他们证明了:在一定的条件下，人们的偏好可以通过期望效用来度量.之后，van-Neumann等人的期望效用思想被大多数人所接受并在实践中得以应用.时至今日，von-Neumann的

3、期望效用思想依然影晌经济、数学等研究领域.但是，用期望效用法来度量人们的偏好也存在着许多缺点.最先对von-Neum。的期望效用法提出挑战的是Al工ais和Ellsberg，他们提出了著名的Allais悖论和Ellsberg悖论.这两个悖论说明了，在一定的环境下，用期望效用法描述的人们的偏好与实际人们的偏好不相符.具体地说，Allais悖论说明:期望效用的方法不能反映人们的风险厌恶(riskaversion)或风险爱好((risklove)，而人们对风险的厌恶或风险的爱好的心理是影响人们偏好的主要因素.Ellsberg悖论说明了:在做决策时，人们总是希望知

4、道一些确定的信息，厌恶不确定的信息，而期望效用法不能反映人们对不确定信息的厌恶(uncertaintyaversion)或爱好.经济学家们已发现:数学期望的线性性中和了人们对风险的厌恶或爱好，对不确定信息的厌恶.从这个意义来讲，数学期望的线性性是导致Allais俘论和Ellsberg悖论的重要原因之一正是基于以上原因，经济学家们正在寻找一种既能保持经典数学期望的某些性质又能反映不确定厌恶的数学工具来描述偏好现在，经济学家们发现用凸容度(convexcapacity)定义的期望效用(capacityexpectedutility)可以度量人们对不确定信息的厌

5、恶(见[4-6,12-14]及这些文章后面引用的参考文献).最近，Schmeidlerlls]证明了这种凸容度定义的期望等价于最小数学期望，粗略地讲，设f是一个随机变量，用C(f)表示石关于容度V的Choquet积分，则C偌)=info,‘二乓圈.其中，，是满足一定条件的概率测度集合，EQ[}]是F的数学期望.因此，求Choquet积分等价于求最小数学期望.除了在经济理论中需要计算最小数学期望外，在期权的定价理论中也擂要计算最小(最大)数学期望，我收稿扫期2001-09-03墓金项件木文得到教育部高等学校骨干教师基金和山东省自然科学基金(Y2000A09)

6、资助.万方数据32卷442们知道:在完备的证券市场中，对给定的(折扣)未定权益(，存在唯一的一个概率测度Q使得期权在时刻t的(折扣)定价是EQ[}IFt]，而在不完备的证券市场中，象Q这样的概率测度通常存在不唯一因此，在这种情况下，人们希望知道期权定价的最高上界和最低下界，用数学术语，即最小〔最大)条件数学期望.以上理论的研究的成果是十分漂亮的.然而、利用定义计算最小期望是相当困难的.本文的目的是给出一种计算最小(条件)数学期望的简单方法，这种方法是将计算最小数学期望的问题转化成求解一类倒向随机微分方程解的问题，由于解倒向随机微分方程有一套简单的数值计算方

7、法，因此计算最小数学期望问题也就变得比较容易了(特别是可以用计算机进行计算).进一步，我们讨论了布朗运动关于最小数学期望的一些性质(例如，独立性等).应当说，用倒向随机微分方程的方法比用最小数学期望的定义直接去证明以上性质要简单得多值得一提的是尽管经济学家们发现用凸容度定义的期望效用可以度量人们的某些不确定厌恶.但是，如何用容度定义条件容度期望(conditionalcapacityexpectation)是当前摆在经济学家面前的一大难题，这个难题的存在使得用容度定义的容度期望效用函数无法用来描述动态(依赖时间的)经济模型.本文定义的最小条件数学期望实质上

8、是一种条件容度期望，显然用它可以描述不确定条件下的动态经济模型.2