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1、习题四(A)1、设随机向量的分布函数为，对任意（），证明：。解2、一台仪表由二个部件组成，以和分别表示这二个部件的寿命（单位：小时），设的分布函数为求二个部件的寿命同时超过120小时的概率。解3、设等可能的取1,2,3,4中的一个，等可能的取1,…,中的一个，求的联合分布及关于的边缘分布列。解易见，和的取值都是1,2,3,4，且取的概率为,此时取中一数的概率为,因此,而当时。于是得到的联合分布：关于Y的边缘分布列：4、设从装有红、白球的袋中任取一球，取得红球的概率为，现从袋中有放回的每次取一球，2
2、2直到第二次取得红球为止，设表示第次取得红球时所抽取的次数，求的联合分布列、边缘分布。解5、将一枚硬币抛3次，以表示前2次出现正面的次数，以表示3次中共出现正面的次数，求的联合分布和边缘分布。解的可能取值为0，1，2，的可能取值为0，1，2，3，则故的联合分布列及其边缘分布列如下表：6、假设随机变量在区间服从均匀分布，随机变量22求和的联合概率分布．解随机向量有等4个可能值，于是和的联合概率分布为．7、假设一批产品中有4件不合格品和16件合格品，接连从中随机地抽出两件，以和分别表示先后抽到不合格品
3、的件数（0或1），试求，(1)和的联合分布；(2)由和的联合分布求和的概率分布．解(1)按古典型概率公式分别计算为值的概率，得．(2)和都有0和1两个可能值，由全概率公式，有由此得和的概率分布列：01018、设随机变量和各只有－1,0,1等三个可能值，且同分布并满足条件：．试求和的联合分布，假设满足条件，(1)；(2)．解(1)下面表中用黑体表示已知的概率，其中由条件得表心中的4个黑体“0”22．从而不难求出表中的其他概率．XY－101－1011/41/21/41/41/21/41(2)下面表中用
4、黑体表示已知的概率，其中由条件得表心中的6个黑体“0”．从而不难求出表中的其他概率．XY－101－1011/41/21/41/41/21/419、设和是两个相互独立且分布相同的随机变量，其共同分布由下列密度函数给出，求。解的联合密度函数为所以=10、假设随机变量的概率密度在以为顶点的四边形上为常数，而在此四边形之外为0；考虑随机变量－11－1/2uv1－2－11/22O(1)试求X和Y的联合概率分布；(2)试求X和Y的联合分布函数．解以为顶点的四边形是菱形，记作．以表示的概率密22度，则，其中是常
5、数．由概率密度的性质，可见，其中是菱形的面积．因此(1)插图中4个小等腰三角形和4个小矩形的面积，都等于菱形面积的1/8．随机向量有等4个可能值．易见，于是，得X和Y的联合概率分布为：；(2)由X和Y的联合概率分布可见，X和Y的联合分布函数为：11、服从抛物线和直线所夹的区域上的均匀分布，求联合密度与边缘密度函数。解由于的面积为故联合密度函数为则边缘密度函数为22显然，12、若的密度函数为求：（1）常数；（2）；（3）的边缘分布；（4）；（5）。解（1）（2）。（3）的边缘分布，当时，当时有.（4
6、）.（5）,。13、某种商品一周的需求量是一个随机变量，其密度函数为设各周的需求量是相互独立的，求两周需求量和的密度函数。解，分别表示第一周、第二周需求量，表示两周的总需求量，那么，22故的概率密度为14、设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，试求边长为和的矩形面积的密度函数。解联合密度为当时：当时：当时：15、设的联合密度函数为，求的分布函数。解的分布函数，由联合密度计算得可见，故和相互独立。故2216、设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似服从正态分布，随即地选取4只。求其中没有一只寿命小于1
7、80的概率。解是第只电子管的寿命，即求180的概率又所以17.设～试求的分布。解易见只取两个值0和1，从而是离散型的。由(4.22)得从而，的分布为和。18、证明若，，且与独立，则证明：故2219、证明若，，且与独立，则。证明：易见的取值为,对,故20、设服从单位圆上的均匀分布，密度函数为，求。解依题可得的边缘密度为于是，当时，有即当时，有=21、设二维随机变量的联合密度函数为22求：（1）,；（2）,。解(1)在时，(2)在时，22、已知二维随机变量的联合分布函数为，求和的数学期望与方差。解23
8、、已知二维随机变量的联合密度函数为问和的数学期望与方差是否存在？若存在，请求出。解可得：，故的方差不存在2224、设随机变量，随机变量，求：（1）求的联合概率分布；（2）求。解（1）的联合分布：0101（2）25、设随机变量和的联合分布在点，，为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求随机变量的方差。解联合密度为同理,2226、若抛颗均匀骰子，求颗骰子出现点数之和的数学期望和方差。解颗骰子出现点数为可看作个相互独立同分布的随机变量，故有27、一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有1
