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时间:2019-05-25
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1、考研数学知识点-概率统计一.随机事件和概率(4)全概公式B1,B2,Λ,Bn1、概率的定义和性质设事件满足B1,B2,Λ,Bn1°两两互不相容,(1)概率的公理化定义P(Bi)>0(i=1,2,Λ,n),设Ω为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一n个实数P(A),若满足下列三个条件:A⊂ΥBi1°0≤P(A)≤1,2°i=1,2°P(Ω)=1则有3°对于两两互不相容的事件A1,A2,…有P(A)=P(B1)P(A
2、B1)+P(B2)P(A
3、B2)+Λ+P(Bn)P(A
4、Bn)∞∞⎛⎞。P⎜⎜ΥAi⎟⎟=∑P(Ai)此公式即为全概率公式。⎝i=1
5、⎠i=1常称为可列(完全)可加性。(5)贝叶斯公式则称P(A)为事件A的概率。设事件B1,B2,…,Bn及A满足1°B1,B2,…,Bn两两互不相容,P(Bi)>0,i=1,(2)古典概型(等可能概型)2,…,n,1°Ω={}ω,ωΛω,n12nA⊂ΥBi2°P(ω)=P(ω)=ΛP(ω)=1。2°i=1,P(A)>0,12nn则设任一事件A,它是由ω,ωΛω组成的,则有12mP(B)P(A/B)iiP(B/A)=,i=1,2,…n。P(A)={}(ω)Υ(ω)ΥΛΥ(ω)in12m∑P(Bj)P(A/Bj)=P(ω)+ΛP(ω)++P(ω)12m
6、j=1此公式即为贝叶斯公式。mA所包含的基本事件数==P(B),(i=1,2,…,n),通常叫先验概率。P(B/A),iin基本事件总数(i=1,2,…,n),通常称为后验概率。如果我们把A当作观察的“结果”,而B1,B2,…,Bn理解为“原2、五大公式(加法、减法、乘法、全概、因”,则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出贝叶斯)了“由果朔因”的推断。(1)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)3、事件的独立性和伯努利试验当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)(1)两个事件的独立性P(AB)=P(A)P(B)设事件
7、A、B满足,则称事件(2)减法公式A、B是相互独立的(这个性质不是想当然成立的)。P(A-B)=P(A)-P(AB)P(A)>0若事件A、B相互独立,且,则有当B⊂A时,P(A-B)=P(A)-P(B)P(AB)P(A)P(B)P(B
8、A)===P(B)当A=Ω时,P(B)=1-P(B)P(A)P(A)所以这与我们所理解的独立性是一致的。(3)条件概率和乘法公式若事件A、B相互独立,则可得到A与B、A与B、P(AB)A与B也都相互独立。(证明)定义设A、B是两个事件,且P(A)>0,则称为事件P(A)由定义,我们可知必然事件Ω和不可能事件Ø与任A发
9、生条件下,事件B发生的条件概率,记为何事件都相互独立。(证明)P(AB)同时,Ø与任何事件都互斥。P(B/A)=。P(A)(2)多个事件的独立性条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,1Editedby杨凯钧2005年10月http://zhipeili.blog.163.com考研数学知识点-概率统计P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)称为随机变量X的分布函数。并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(a10、F(a)可以得到X落入区那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。间(a,b]的概率。也就是说,分布函数完整地描述了随机两两互斥→互相互斥。两两独立→互相独立?变量X随机取值的统计规律性。分布函数F(x)是一个普通的函数,它表示随机变量(3)伯努利试验定义我们作了n次试验,且满足落入区间(–∞,x]内的概率。每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生;F(x)的图形是阶梯图形,x,x,Λ是第一类间断12n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样;点,随机变量X在x处的概率就是F(x)在x处的跃每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他kk次试11、验A发生与否是互不影响的。度。这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。分布函数具有如下性质:用p表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为1°0≤F(x)≤1,−∞12、可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk,k=1,2,…,5°P(
10、F(a)可以得到X落入区那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。间(a,b]的概率。也就是说,分布函数完整地描述了随机两两互斥→互相互斥。两两独立→互相独立?变量X随机取值的统计规律性。分布函数F(x)是一个普通的函数,它表示随机变量(3)伯努利试验定义我们作了n次试验,且满足落入区间(–∞,x]内的概率。每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生;F(x)的图形是阶梯图形,x,x,Λ是第一类间断12n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样;点,随机变量X在x处的概率就是F(x)在x处的跃每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他kk次试
11、验A发生与否是互不影响的。度。这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。分布函数具有如下性质:用p表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为1°0≤F(x)≤1,−∞12、可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk,k=1,2,…,5°P(
12、可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk,k=1,2,…,5°P(
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