中考复习专题之举反例

《中考复习专题之举反例》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2010年中考复习专题之举反例在数学中，要证明一个命题成立，必须严格地在所给的条件下，以已经证明的事实为依据，用逻辑推理的方法推导出结论．要证明一个命题是错误的，极具有说服力而又简明的方法就是举出反例，去推翻它．数学中的反例实际上是与命题相矛盾的特例，具体说就是符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子．一、列举反例的表达格式．反例是符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子．所以列举反例时，要注意做到以下三点要求：（1）列举反例要具体；（2）要具体列举出反例满足命题的各项条件；（3）要具体说明反例与

2、该命题的结论不符（如列举出否定该命题结论的条件）．例1．（2004年厦门第20题）已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上．（1）如图1，连结DF、BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断命题“在旋转的过程中，线段DF与BF的长始终相等．”是否正确，若正确请给出证明，若不正确请举反例说明；（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连结DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等，并以图2为例说明理由．图1图2分析：在考试的过程中，

3、可以通过操作验证发现（1）中的命题是假命题．这样，我们可以找个特殊的位置举出反例．解：（1）该命题是假命题，反例如下：若将AEFG绕点A按顺时针方向旋转45度，如图3所示，图3此时，点F落在边AB上，∴BF＜AB，又在Rt△DAF中，DF＞DA，在正方形ABCD中，AD＝AB，∴DF＞BF．∴该命题是假命题．11二、列举反例的常用方法．（一）列举挑疵法．因为反例实际上就是说明问题不成立的一个特例．通常情况下，这个命题不是“一切情况下均假”，而是在有的情况下真，有的情况下假，经过全面考虑所有可能的情形，一一严格

4、验证，便把成立的情况排除出去，不成立的情况挑选出来，从而得到反例．在考虑所有可能时，采用二分法或特殊值法都是十分有效的，许多情况都是由于分类不全而以假乱真．例2．已知下列命题：（1）－a是负数；（2）如果a是实数，那么a2＞0；（3）如果x2＝y2，那么x＝y；（4）如果a是实数，那么．以上四个命题中，假命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个分析：以（3）为例，一般情况下，实数的运算要考虑符号和绝对值，考虑到平方运算的结果一定是非负的，所以对x、y的取值要考虑正数和负数两种情况：（1）x、y同号；（

5、2）x、y异号．这样容易找到下面的反例：如x＝2、y＝－2，满足(2)2＝(－2)2，但2≠－2．（二）反设逆推法．例3．判断命题“对角线相等且互相垂直的的四边形是正方形”是真命题还是假命题．若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例．分析：该命题的结论是“四边形是正方形”，考虑到“正方形的对角线相等、互相垂直、互相平分”，而该命题的条件中少了“互相平分”这个条件，所以我们可以从这里构造反例．解：如图4，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图4且AC＝BD，AC⊥BD，但AO≠CO，所以四边形A

6、BCD不是正方形．11（三）顺推寻阻法．当一个命题作为一个真命题去分析时，如果进行到某个地方思维受阻，无法进展，甚至得到一些意外的、矛盾的结果，那么，这就是寻找反例的好地方．例4．如果两个三角形有两边及其中一边的对角分别对应相等，那么这两个三角形是全等三角吗？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．分析：回顾三角形全等的三个公理都是通过画图发现，所以我们可以从正面思考这个问题．图5解：如图5，画∠MAN（锐角），在射线AM上取点B，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交射线AN于C、D两点．在△ABC与△ABD

7、中，满足AB＝AB，BC＝BD，∠BAC＝∠BAD，但显然AC≠AD，所以这两个三角形不是全等三角．构造反例是数学学习必不可少的基本功，而构造反例更需要的也是扎实的数学基本功，如牢固掌握基础知识，缜密的思考能力等．例5．已知四边形ABCD，现给出下列三个条件：①AB∥CD；②∠A＝∠C；③AD＝BC．试从上述三个条件中选取两个作为题设，以“四边形ABCD是平行四边形”为结论，（1）写出一个真命题，并给出证明；（2）写出一个假命题，并举出反例．分析：从三个条件中任意选取两个，有三种选法，所以可以写出三个命题：（

8、1）如果四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠C，那么四边形ABCD是平行四边形；（2）如果四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形；（3）如果四边形ABCD中，∠A＝∠C，AD＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形．容易发现，等腰梯形也是满足（2）中的条件，那么构造一个等腰梯形就是反例．11三、能力训练．1．已知下面两个命题：（1）两个有理数相加，和一定大于每一个加