肿瘤的增长模型及其放射治疗和药物治疗的研究

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1、癌症治疗方案的研究问题一：癌症患者多发现于晚期，如果早期发现，会有更多的机会治愈，或者极大地延长患者寿命。本文通过建立肿瘤早期的指数增长模型，研究肿瘤由一个细胞增殖至可临床发现的直径1cm大小所需要的时间，并给出及早发现肿瘤的建议。问题二：在肿瘤早期的指数增长模型基础上，定期对患者使用用高LET射线进行放射治疗，建立数学模型研究放射剂量、放射间隔与放射次数之间的关系，并给出一个较为合理的放疗方案。问题三：医生给病人开药时需告诉病人服药的剂量和两次服药的间隔时间，服用的剂量过大会产生副作用甚至危险，服用的剂量过小又达不到治疗的目的，为有效杀死病菌，体

2、内药物浓度应达到A。本文通过建立药物浓度关于时间的函数，根据每次服药量，求得服药周期。目标任务模型假设1、假设肿瘤细胞核肿瘤的外形为球形，且不考虑细胞之间的间隙；2、假设在治疗期间不考虑外界因素对治疗效果的影响；3、假设不考虑肿瘤位置的转移；4、假设每个肿瘤细胞的增长率相同。问题一的分析对问题一：为了研究肿瘤的生长模型，根据假设1，本文中主要考虑肿瘤细胞数目增长引起的肿瘤体积的增长变化。在早期过程中，由于营养充分，肿瘤细胞增长基本不受限制，它比较符合指数增长模型。本文考虑医学上肿瘤的直径容易测出，且通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，故求解方法是通过体

3、积增倍时间推导出直径增长速度。问题一的模型假设某肿瘤初始时刻的体积为，时刻的体积为，单位时间内肿瘤的增长率为（为常数），并且肿瘤的增长率（体积变化率）与当时的体积成正比，则可得到如下方程：则模型的求解（1）增倍时间的求解：模型简化后为积分解得：，则故肿瘤增倍时间为。问题一的求解（2）直径增长速度的求解：假设肿瘤体积为球形，则由模型可得：联立：即为肿瘤直径增长速度。问题一的求解由MATLAB可得到肿瘤体积的变化图：问题一的结果分析与进一步研究从以上求得的结果我们可以得到体积增长与直径增长之间的定量关系，这在医学诊断上具有重要的意义。令，为增倍次数。取

4、对数得：转化为体积可得：可知，当时，.问题一的结果分析与进一步研究题目中给出，一个癌细胞直径约为10μm，重约0.001μg，当患者被查出患有癌症时，通常直径已有1cm以上（即已增大1000倍），由此容易算出癌细胞转入活动期已有30σ天，根据模型能够验证结果正确，癌细胞已经增倍次数约为30。根据资料显示，能致人死亡的肿瘤约为1kg，根据公式推导，当肿瘤从直径1cm到1kg的肿块，体积增大也是1000倍。而根据式（8），需要的增倍次数仅为10。这说明，癌症在发现前的平均增长期约为发现后的平均存活期的3倍。结论是此模型所得结果极好的验证了题目中提出的“

5、在早期发现癌症是攻克癌症的关键之一”。及早发现及早治疗的措施研究根据肿瘤增长的指数模型可以看出，由一个肿瘤细胞增长至可临床发现的最小肿瘤直径1cm,需要30σ天，σ(7,465)，即最少需要210天。而从直径1cm增长至致人死亡的10cm只需要10σ天，可见肿瘤的潜伏期很长，而发作期很短。故需要尽早发现并治疗。本文提出以下建议：1、养成良好的生活习惯，经常做适量体育运动，保持健康状态。2、居民应该自己在日常生活中掌握各种癌症的报警信号，并经常进行自我检查。3、居民应定期到医院进行身体检查，以防延误病情。体检周期应以15σ即三个月左右为宜。问题二——

6、最佳放疗模型对问题二：根据肿瘤早期生长模型和初始肿瘤细胞的数目，利用高LET电离射线放射疗法，研究每次放射治疗能存活的肿瘤细胞的概率，通过迭代法，探索能够到达治愈效果的方案。最后根据所查数据给出行之有效的放射治疗方案。模型的建立时刻肿瘤细胞的数目为：本文中研究利用高LET电离射线放射疗法，记每次的放射剂量为D，平均致死剂量为D0。文中定义：一次放射剂量=放射治疗时间×放射强度。根据高LET射线对细胞辐射产生线性生存曲线，可得生存份额S和剂量D之间的关系为：其中S是生存下来的细胞数，是斜率，D是输送的辐射剂量。引入平均致死剂量则关系式转化为：当时，每

7、次可使肿瘤细胞存活率达到36.8%，本文中将这一剂量作为肿瘤细胞对射线敏感性的一个指标。，即就是在这种疗法下，模型的建立假设在开始放射治疗时肿瘤细胞数目为，在第一次放射治疗后肿瘤细胞数目变为：考虑第n次照射后所存活的肿瘤细胞数目为：记,则通过迭代法可得：最佳放疗模型的求解可以求解得在高LET射线放疗法下的解析图：图3高LET射线放疗法模拟效果图图4高LET射线放疗法模拟效果图最佳放疗模型的求解结果分析从两张折线图中可以看出，在高LET射线放疗法治疗过程中，当每天放疗一次，那么病人放疗14次后，体内癌细胞数位90000个，小于个，即可以认为放疗14次

8、后病人就能依靠自身的免疫系统将癌细胞杀灭。问题三——最佳服药模型文中假设，为有效杀死病菌，体内药物浓度应达到A。设药物被吸