黄金分割的空间拓展

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1、黄金分割的空间拓展在自学华东师大版八年级（下）数学教科书第71页的阅读材料《黄金分割》之后，我发现目前对黄金分割的研究主要集中在黄金分割点（一维）。经过深入地研究，我创造性提出了“黄金分割的空间拓展”。黄金分割的空间拓展是数学领域的一个新课题，现阶段对其研究尚处于初级阶段。目前对“黄金分割点（一维）”中的黄金分割数Ф≈0.618的研究很多，但是对于“黄金分割线（二维）”、“黄金分割面（三维）”的研究还非常少。而黄金分割线、黄金分割面同样在生产生活中有着广泛的应用，比如在军事、医学、天文、气象、城市规划、人

2、功智能、实验的优选、工艺美术等诸多领域有着广泛的应用。ABCD图1我们已经知道，如图1，如果线段AB被点C分成线段AC和BC，且，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。通过计算可知黄金比为称此为黄金分割数Ф，取三位小数约为0.618。即Ф≈0.618,其中有3个重要的等式:Ф2+Ф-1=0;Ф2=1-Ф;.为了研究方便，我把Ф2=1-Ф≈0.382和称为广义的黄金分割数。我们通过图形可以发现黄金分割点具有对称性：容易得出，如果线段AB上另有一点D，满足BD=

3、BA·AD，那么D点也是AB的黄金分点，因此，一条线段的黄金分割点应该有两个：其中点C简称线段AB的“第一种黄金分割点”，点D简称线段AB的“第二种黄金分割点”．我把这些统称为“黄金分割点（一维）”。因为，所以点D不仅是线段AB的第二种黄金分割点，也是线段AC的第一种黄金分割点。同样地，点C既是线段AB的第一种黄金分割点，也是线段BD的第二种黄金分割点目前，社会各界对黄金分割点已经进行过大量的研究，这里就不再说明了，我将在下面重点阐述“黄金分割线”和“黄金分割面”。一、“黄金分割线”类似“黄金分割”的定义

4、，我对“黄金分割线”进行定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线。同样地，黄金分割线也存在相应的广义黄金分割线。下面我着重对三角形、平行四边形、梯形、圆等几种常见的平面几何图形的黄金分割线存在情况进行探索。（一）三角形的“黄金分割线”①在中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则线段CD是的黄金分割线．②过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则线段EF也是的黄金分割线．AEDCB图4图图A

5、DB图2CADB图3CFE证明：①线段CD是的黄金分割线．理由如下：设的边AB上的高为h．∵　,　　∴又∵点D是AB边上的黄金分割点∴∴即线段CD是的黄金分割线．　　②∵∴∴又∵CD是的黄金分割线∴∴即线段EF也是的黄金分割线．③在中，（如图4）若点D、点E分别为AB、AC边上的“第一种黄金分割点”，则线段DE∥BC且DE是广义的黄金分割线。证明：∵点D、点E分别为AB、AC边上的“第一种黄金分割点“∴∴DE∥BC又∵∴DE是广义的黄金分割线同理可得，若点D、点E分别为AB、AC边上的“第二种黄金分割点”

6、则线段DE∥BC且DE是广义的黄金分割线AEDCB图5图图F④在中，（如图5）若点D是AB边上的“第一种黄金分割点”，点E是AC边上的“第二种黄金分割点“，则DE∥BF且证明：∵点D是线段AB的黄金分割点∴同理可得：∴∴DE∥BF∴……………………①又∵线段BF是△ABC的黄金分割线∴…………………②联合①、②可得：由此，我们可以得出：三角形存在无数条的黄金分割线，其中如图4的这条黄金分割线的位置非常优美，可以说是众多黄金分割线中“模特儿”，已经被人们广泛的应用。（二）平行四边形的“黄金分割线”①如图6，

7、若点E是□ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF//AD，交DC于点F，则线段EF是□ABCD的黄金分割线EFCBDA图6证明：设□ABCD边AB上的高为h∵S=S□ABCD=AB×hS1=S□EBCF=BE×h∴又∵点E是□ABCD的边AB的黄金分割点∴∴,即线段EF是□ABCD的黄金分割线②如图7，若取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则线段MN就是□ABCD的黄金分割线③如图8，若在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM//NE交AB于点M，连接MN，则线段MN也是□

8、ABCD的一条黄金分割线图7图8证明：②∵∴S△NGF=S△MGE∴S四边形MBCN=S□EBCF设S=S□ABCD，S1=S四边形MBCN又∵S□EBCF：S□AEFD=Ф（上题已证）∴，即线段MN就是□ABCD的黄金分割线③同理可得：线段MN就是□ABCD的黄金分割线由此可见，平行四边形有无数条黄金分割线。（三）梯形的“黄金分割线”①如图9，在梯形ABCD中，点E、F分别是上底边安定和下底边BC的黄金分割点，则线段EF是梯