全等中的旋转

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1、全等中的旋转例1、如图，等边三角形与等边共顶点于点．求证：．【巩固】(年全国初中数学联赛武汉杯选拔赛)如图，和均为等边三角形，，．若，则．【巩固】如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与相等的理由．【例1】如图，是等边内的一点，且，，，问的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．【例2】(1997年安徽省初中数学竞赛题)在等腰的斜边上取两点、，使，记，，，则以、、为边长的三角形的形状是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随、、的变化而变化(2005年四川省中考题)如图，等腰直角三角形中，

2、，，为中点，．求证：为定值．【巩固】在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动，交于点，试说明的形状和面积将如何变化．【巩固】等腰直角三角形，，，为中点，，试猜想，、、三者的关系．【例1】如图所示．正方形ABCD中，在边CD上任取一点Q，连AQ，过D作DP⊥AQ，交AQ于R，交BC于P，正方形对角线交点为O，连OP，OQ．求证：OP⊥OQ．【巩固】如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：．【例2】(2004河北)如图，已知点是正方形的边上一点，点是的延长线上一点，且．求证：．【巩固】(湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考

3、试)已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．【巩固】如图，正方形中，．求证：．【巩固】如图所示，在四边形中，，，于，若四边形的面积是16，求的长．【例1】、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．【巩固】如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各存一点P、Q，若△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．【巩固】如图，正方形的边长为，点在线段上运动，平分交边于点．⑴求证：．⑵设()，与的面积和是否存在最大值？若存在，求出此时的值及．若不存在，请说明理由．　　　　BCAGDFEBCADE【巩固】如图

4、，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．⑴求证：CE＝CF；⑵在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．【例1】(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．【巩固】如图所示，在四边

5、形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°，K、N分别是AB、BC上的点，若△BKN的周长为AB的2倍，求∠KDN的度数．【巩固】等边和等边的边长均为1，是上异于的任意一点，是上一点，满足，当移动时，试判断的形状．【例2】在等边的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为外一点，且，，，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及的周长与等边的周长L的关系．⑴如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式__________；此时=___

6、_______⑵如图②，当点M，N在边AB，AC上，且时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；⑶如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_________(用x，L表示)【巩固】(1)如图25-1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF＝BE＋FD;(2)如图25-2在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？不用证

7、明．(3)如图25-3在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【例10】已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．求证：．【巩固】如图，，，三点共线，且与是等边三角形，连结，分别交，于，点．求证：．【巩固】已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．求证：平分．【巩固】如图，点为线段上一点，、是等边三角形．请你证明：⑴；⑵；⑶平分．【例11】如图，点为线段上一点，、

8、是等边三角形，是中点，是中点，求证：是等边三角形．【巩固】(年全国初中数学竞赛海南区初赛)如下图，在线段同侧作两个等边三角形和()，点与点分别是线段和的中点，则是()A．钝角三角形　　B．直角三角形C．等边三角形　　D．非等腰三角形【巩固】已知：如