旋转变换中的全等与相似

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时间:2018-09-08

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1、旋转变换中的全等与相似2012-1-5旋转变换是全等变换,旋转变换与全等紧密相连,但有些相似问题也可以在旋转变换的背景中加以研究。仅举几例以作说明:例1.(旋转中的全等)如图一,在△ABC中,分别以AB,AC为直径在△ABC外作半圆和半圆,其中和分别为两个半圆的圆心.F是边BC的中点,点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点.过点A分别作半圆和半圆的切线,交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q,连结PQ,若∠ACB=90°,DB=5,CE=3,求线段PQ的长;例2.(旋转中的相似)含30°角的直角三角板ABC中,∠A=30°.将其绕直角顶点C顺时针旋

2、转角(且≠90°),得到Rt△,边与AB所在直线交于点D,过点D作DE∥交边于点E,连接BE.(1)如图1,当边经过点B时,=°;(2)在三角板旋转的过程中,若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍,猜想m的值并证明你的结论;(3)设BC=1,AD=x,△BDE的面积为S,以点E为圆心,EB为半径作⊙E,当S=时,求AD的长,并判断此时直线与⊙E的位置关系.4例3.(旋转中的相似)已知:在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F.如图甲,当AC=BC,且CE=EA时,则有EF=EG;(1)

3、如图乙①,当AC=2BC,且CE=EA时,则线段EF与EG的数量关系是:EFEG;(2)如图乙②,当AC=2BC,且CE=2EA时,请探究线段EF与EG的数量关系,并证明你的结论;图乙②图乙①图甲(第25题)(3)当AC=mBC,且CE=nEA时,请探究线段EF与EG的数量关系,直接写出你的结论(不必证明).例4.(旋转中的全等与相似)操作:在△ABC中,AC=BC=2,∠C=90°,将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点。图①,②,③是旋转三角板得到的图形中的3种

4、情况。研究:(1)三角板绕点P旋转,观察线段PD和PE之间有什么数量关系?并结合图②加以证明。4(2)三角板绕点P旋转,是否能居为等腰三角形?若能,指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长);若不能,请说明理由。(3)若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处,且AM:MB=1:3,和前面一样操作,试问线段MD和ME之间有什么数量关系?并结合图④加以证明。例5.(旋转中的全等)△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC的中点,把一个三角板的直角顶点放在点D处,将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F.(1)如图1

5、,观察旋转过程,猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论;(2)如图2,若连接EF,试探索线段BE、EF、FC之间的数量关系,直接写出你的结论(不需证明);图1图2图3(3)如图3,若将“AB=AC,点D是BC的中点”改为:“∠B=30°,AD⊥BC于点D”,其余条件不变,探索(1)中结论是否成立?若不成立,请探索关于AF、BE的比值.例6.(旋转中的全等)已知:⊿ABC为直角三角形,∠BAC=900,D为BC边的中点,有一块直角三角板PMN,其中∠MPN=900,将它放在⊿4ABC上,使得其顶点P与D点重合,旋转三角板PMN,在旋转过程中,三

6、角板的两条直角边DM、DN分别于AB、BC边所在的直线交于点E、F,连结EF。(1)当E、F分别在边AB、AC上(如图1)求证:BE2+CF2=EF2(2)当E、F分别在边AB、AC所在的直线上(如图2、图3)时线段BE、CF、EF之间的关系是否变化?请写出结论并证明。4

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