数学概念的物质和有效教学建构

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1、数学概念的特质和有效教学建构数学概念，静态地看是数学知识的基本单位，动态地看是儿童思维的基本单位。对于儿童的数学学习而言，数学概念起着奠基性作用。它不仅是儿童学习数学定律、法则、公式等的知识起点，也是儿童进行数学推理、判断、证明的逻辑依据，还是儿童正确进行数学运算、深入进行数学思考、有效进行问题解决的先决条件。一、数学概念的特质解读1．过程性特质。从数学概念获得过程分析，概念具有二重性：过程性与对象性。数学概念既表现为一种过程操作，又体现为特定的对象、结构。“这些概念最初是作为一个过程得到引进的

2、，但最终则又转化成一个对象，我们不仅可以研究它们的性质，也可以此为对象去施行某些新的运作（指广义的数学运演）”。在教学中，我们既要将概念看作思维成果（对象性或结构性数学），更要将概念理解为思维过程（过程性数学）。例如，乘法，既是相同加数和的简便运算过程，又是运算结果的表现；平移和旋转，既代表一个几何图形在平面内作特定位移的过程，又代表这种特定的变换本身。将概念看作一个对象或结构，意味着概念是静态的、独立的，并能把它作为一个整体来进行思维而无需考虑其细节；而将概念理解为一个过程，则意味着它只有在一

3、连串操作下才能存在，是动态的、有步骤、有顺序的。数学概念的对象属性决定了数学概念具有明确的内涵与外延、鲜明的本质属性和特定的数学形式；数学概念的过程属性说明数学概念具有丰富的历史背景、创新的思维方法和独有的发展历程。“过程”是对概念的支撑和演绎，“对象”是对认知过程的抽象和提炼，概念教学中二者都不可偏废。2．表象性特质。在概念学习中，儿童获取的不只是几句条文式的概念定义，而是丰富、鲜活的概念表象。首先，儿童往往是选取典型性对象作为概念代表进行加工，建立数学模型的。比如，儿童往往用大拇指的宽度建立

4、厘米表象，用手掌的宽度建立分米表象，用两臂张开的长度建立米的表象等。其次，儿童的概念心理表征在大多数情况下并非相应的“形式化定义”，而是由多种成分组成的复合物──心智图像、对有关性质和过程的记忆等。例如，儿童常常借助图像来理解正反比例的概念，借助数轴上的点来理解正负数的概念等。教学中教师要以丰富的概念表象作支撑让儿童理解“形式化定义”，让丰富的概念表象因为有了简约的形式定义而更精确、更深刻，让简约的形式定义因为有了概念表象而更丰富、更生动，由此实现概念表象和概念定义的耦合。3．结构性特质。从来源

5、看，数学概念之间有着密切的联系，先前的概念往往是后续概念的基础，从而形成了数学概念的系统。高层次的数学概念总是以低层次的概念为其具体内容，所以，数学概念往往是“抽象的抽象”。概念教学中，教师要能够从系统论的角度去研究数学概念，把握好数学概念之间的关系，有意识地将新概念纳入到儿童已有的概念结构中，使之形成新的、层次更高、更完整的概念结构。研究表明，将所学“概念点”织成“概念网”，有利于概念本身的巩固和深化，从而更好地理解这个概念；有利于促进知识的迁移，发展学生的数学能力；有利于以概念系统为基础，组

6、织学生的数学认知结构，使所学的知识系统化、结构化。二、数学概念的“精致化建构”数学概念的精致化建构是指师生在教学中对数学概念的内涵与外延进行深度加工，对数学概念的要素进行精细加工，从而让学生获得精确的概念限制条件、清晰的概念表象、更多的概念例证等。着眼于儿童数学概念的学习心理，提升儿童的数学“前概念”、将数学概念进行“数学化还原”、对数学概念进行“多向度厘析”、将相关数学概念进行“集约化处理”可以将数学概念的“精致化”建构提升到可操作层面。数学概念的“精致化”建构追求儿童对数学概念的本质把握和对

7、概念的主动习得。1．生活化处理：将数学“前概念”提升为“数学概念”。面对新概念，学生并非“零起点”。语文学习中的词义解释、数学学习中的前位概念、生活运用中的点滴积累、学习现场中的即兴思辨等都能在直面数学“新概念”的一瞬而被激活。某种意义上，儿童数学新概念的建构过程表现为儿童“前概念系统”不断修正与扩张的过程。教师应有意识地将儿童的“前概念”提升为“数学概念”。一方面，要积极利用“前概念”的实践性、浅显性、通俗性等特点。如，借助生活中日升日落、白天黑夜周而复始的经验来帮助学生理解“循环”概念；借助

8、练习本上的横线、双杠等形象帮助学生认识“平行线”概念；借助温度计的零上温度与零下温度让学生感悟正负数的概念等。另一方面，也要警惕“前概念”对数学概念学习的干扰，设法提防、抑制或纠正。如生活中的角对作为几何图形的角的干扰，生活中物体有多重的概念对“质量”概念的干扰，生活中物体竖直方向上的高对几何图形高的影响等。作为教师，我们应选择恰当的教学策略，回应儿童已有的生活经验，促成儿童深刻的概念领悟。2．数学化还原：将“数学概念”转变为学生的“思维对象”。数学概念是前人实践智慧的结晶。在概念没有形成以前，