压轴题每日一练5

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1、压轴题专练（五）1.（2011•郴州）如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：△PQE∽△PMF；（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；（3）设BP=x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来．2.（2

2、011•郴州）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P是线段AB上的一动点（不与A、B重合），坐标为（m，1﹣m）（m为常数）．（1）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式；（2）当P点在线段AB上移动时，过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变；（3）当P移动到点（）时，请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标．参考答案：1、解：证明：（1）∵PE⊥BC，PF⊥AC，∠C=90°，∴∠PEQ=∠PFM=

3、90°，∠EPF=90°，即∠EPQ+∠QPF=90°，又∵∠FPM+∠QPF=∠QPM=90°，∴∠EPQ=∠FPM，∴△PQE∽△PMF；（2）相等．∵PB=BQ，∠B=60°，∴△BPQ为等边三角形，∴∠BQP=60°，∵△PQE∽△PMF，∴∠PMF=∠BQP=60°，又∠A+∠APM=∠PMF，∴∠APM=∠A=30°，∴PM=MA；（3）AB===20，BP=x，则AP=20﹣x，PE=xcos30°=x，PF=（20﹣x）•，S△PEM=PE×PF，∴y=•x•=（20x﹣x2）=﹣（x﹣10）2+（

4、0≤x≤10）．∴当x=10时，函数的最大值为．2、解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，因为抛物线过原点O（0，0）．所以c=0．，．所以y=﹣x2+x；（2）由（1）可知抛物线的对称轴是x=﹣=．所以它不会随P的移动而改变；（3）点O（0，0）可满足．设抛物线的对称轴与x轴交于K，过K作PB的垂直平分线交抛物线于Q1，Q2两点，则△Q1PB，△Q2PB是等腰三角形．因为P点的坐标是（，）．所以Q1Q2的解析式是：y=x﹣，抛物线的解析式为：y=﹣2x2+2x．所以直线和抛物线的交点Q1，Q2两点的坐

5、标是（，），（，﹣）．