快速多极子边界元方法求解大规模二维多圆柱绕流问题

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1、第二十一届全国水动力学研讨会暨第八届全国水动力学学术会议暨两岸船舶与海洋工程水动力学研讨会文集快速多极子边界元方法求解大规模二维多圆柱绕流问题林志良汪淳廖世俊上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院海洋工程国家重点实验室，上海，200030摘要：：：边界元方法求解势流问题具有优越性，随着问题规模的扩大，传统边界元方法具有很大的局限性。快速多极子方法与传统边界元方法相结合，可以克服该局限，对求解大规模势流问题具有重大的意义。本研究首先应用快速多极子边界元法求解二维的单圆柱绕流问题，并与精确解相比，证明该方法的精确性；同时与传统边界元相比，证明该方法的高效性。其次，运用该方法求解大规模的多圆柱

2、绕流问题，得到若干对工程运用有指导意义的结论。关键词：：：快速多极子边界元方法；多圆柱绕流1引言边界元方法是一种广泛运用于势流问题的数值方法。应用边界积分方程，只需在物理模型的边界上分布离散单元，使得问题的维数降低了一维，减少未知量的数目，这是传统边界元方法优越于其他数值计算方法的特点。然而由离散后生成的系数矩阵是个稠密非对称矩阵，2这是传统边界元方法的局限性。传统边界元法系数矩阵的存储数量级为ON()；在求解代数方程组时，若采用直接法（高斯消元法），其计算数量级为3ON()，若采用间接法（迭代法），其2计算数量级为ON()，其中N为未知量个数。对于大规模问题，存储量和计算量显然都非

3、常大，从而导致计算机内存不够或者计算效率差，使得传统边界元方法失效。20世纪80年代中期，[1-2]Rokhlin等提出了一种快速多极子方法（FastMultipoleMethods，简称FMM），并将该方法应用于求解势流问题。将快速多极子展开法与传统的边界元方法相结合，称为快速多极子边界元法（FMBEM），可以使得存储量和计算量的量级分别降为ON()和ON(logN)，克服了传统边界元方法的局限性，适用于求解大规模势流问题。圆柱绕流问题是流体力学中经典的问题之一，而本研究首先应用快速多极子边界元法求解二维的单圆柱绕流问题，分别与精确解和传统边界元方法得到的数值解相比较，体现该方法的

4、高效性。紧接着，将FMBEM应用于大规模多圆柱绕流问题，计算数百个，甚至数千个圆柱的绕流问题，充分体现了FMBEM在大规模数值计算上的优越性，并得从大规模多圆柱绕流问题的数值解中得到一些对工程有意义的结论。-265-第二十一届全国水动力学研讨会暨第八届全国水动力学学术会议暨两岸船舶与海洋工程水动力学研讨会文集2圆柱绕流问题均匀流动流过半径为a的二维圆柱是一个经[3]典流体力学问题。假设来流方向为流向x轴的正方向，如图1所示。对于不可压缩理想流体，圆柱绕流的精确解是均匀流和偶极子的叠加，流速图1二维的单圆柱绕流模型分布用极坐标表示为：a2ur=U¥cosq×(1-2)（1）ra2uq=

5、-U¥sinq×(1+2)（2）r式中：U¥为无穷远处来流流速，ur为径向流速，uq为圆周向流速，以逆时针方向为正。令r=a，可以得到圆柱表面上流体的流速，并由伯努利方程，可以求得圆柱壁面压强。二维的理想不可压缩流体流动，引进速度势函数F，则F满足Laplace方程¶2F¶2F2+2=0（3）¶x¶y并满足边界条件：¶F=0（4）¶nG¶F=U¥（5）¶x¥其中，G为圆柱的表面，n为圆柱的表面法矢量（指向圆柱内部）。令扰动速度势函数j，则有F=U¥×+xj，由方程（3）至方程（5）可得¶2j¶2j2+2=0（6）¶x¶y满足边界条件：¶j¶x=-U¥（7）¶n¶nGG¶j=0（8）¶

6、x¥对于多圆柱绕流问题，如图2所示。本研究仅假设图2二维的多圆柱绕流模型M´M个半径均为a的圆柱是成正方形排列，相邻圆柱的轴心沿x轴或y轴方向相距均为D，同时假设坐标原点位于正方形的中心。对于二维的理想不可压缩流体流动，方程（6）至方程（8）仍是多圆柱绕流问题的控制方程和边界条件。-266-第二十一届全国水动力学研讨会暨第八届全国水动力学学术会议暨两岸船舶与海洋工程水动力学研讨会文集3快速多极子边界元法[3]根据方程（6）和格林第二公式，可以在圆柱表面G上建立如下边界积分方程：



¶j(x)


¶G(x0,x)c×j(x)-G(x,x)dt=j(x)dt（9）0∫G¶n0∫G¶

7、n


其中，x和x分别是计算域中的场点和源点，c由源点所处的位置决定（c=1：x在计算域00


内；c=0：x在计算域内；c=-1d/2p：x在计算边界上，d为x在物体表面所张的空间000

角度），Gxx(,)为格林函数，其形式为0

1

G(x0,x)=-2plnx0-x（10）本研究采用常数单元离散圆柱表面，则方程（9）可改写为N

¶j(xi)

c×j(x0)-∑¶n∫DGG(x0,xi)dt=i=1iN¶G(x
,x
)（11）j(x
)