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1、第五章大数定理和中心极限定理1．[一]据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。解：设第i只寿命为Xi，（1≤i≤16），故E(Xi)=100，D(Xi)=1002(l=1,2,…,16).依本章定理1知从而3．[三]计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）几个数相加在一起使得误差总和
2、的绝对值小于10的概率不小于0.90解：（1）设取整误差为Xi（，1500），它们都在（－0.5,0.5）上服从均匀分布。于是：8．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？解：设X为100人中治愈的人数，则X～B(n,p)其中n=100（1）（2）p=0.7由中心极限定理知7．
3、[七]一复杂的系统，由100个互相独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10。为了整个系统起作用至少必需有85个部件工作。求整个系统工作的概率。（2）一个复杂的系统，由n个互相独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠性不低于0.95。解：（1）设每个部件为Xi(i=1,2,……100)设X是100个相互独立，服从（0－1）分布的随机变量Xi之和X=X1+X2+……+X100由题设知n=100P{Xi=1}=p=0.9,P{Xi=0
4、}=0.1E(Xi)=p=0.9D(Xi)=p(1－p)=0.9×0.1=0.09n·E(Xi)=100×0.9=90,nD(Xi)=100×0.09=9==由中心极限定理知查标准正态分布表=φ(1.67)=0.9525解：（2）设每个部件为Xi(i=1,2,……n)P{Xi=1}=p=0.9,P{Xi=0}=1－p=0.1E(Xi)=p=0.9,D(Xi)=0.9×0.1=0.09由问题知求n=?而==1－由中心极限定理知=查标准正态分布表得解得n≥24.35取n=25，即n至少为25才能使系统可靠性为0.95.[八]随机地取两组学生，每组80人，分别在两个
5、实验室里测量某种化合物的PH值，各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为5，方差为0.3，以分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均：（1）求P{4.9<}（2）}解：由中心极限定理知～N(0,1)～N(0,1)（1）（2）由Xi,Yj的相互独立性知独立。从而U，V独立。于是U－V～N(0,2)而=2×0.8749－1=0.7498[九]某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望μ（未知），方差σ2=400为了估计μ，随机地取几只这种器件，在时刻t=0投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，测得其寿命X1，…，Xn，以作为μ的估计，为使
6、问n至少为多少？解：由中心极限定理知，当n很大时=所以查标准正态分布表知即n至少取1537。第六章样本及抽样分布1.[一]在总体N（52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率。解：2.[二]在总体N（12，4）中随机抽一容量为5的样本X1，X2，X3，X4，X5.（1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。（2）求概率P{max(X1，X2，X3，X4，X5)>15}.（3）求概率P{min(X1，X2，X3，X4，X5)>10}.解：（1）=（2）P{max(X1，X2，X3，X4，X5)>15}=1－P
7、{max(X1，X2，X3，X4，X5)≤15}=（3）P{min(X1，X2，X3，X4，X5)<10}=1－P{min(X1，X2，X3，X4，X5)≥10}=4.[四]设X1，X2…，X10为N（0，0.32）的一个样本，求解：7．设X1，X2，…，Xn是来自泊松分布π(λ)的一个样本，，S2分别为样本均值和样本方差，求E(),D(),E(S2).解：由X~π(λ)知E(X)=λ，∴E()=E(X)=λ,D()=[六]设总体X~b(1,p)，X1，X2，…，Xn是来自X的样本。（1）求的分布律；（2）求的分布律；（3）求E(),D(),E(S2).解：（
8、1）（X1，…，Xn）的分布律为=（2
