概率论重点及课后题答案9

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1、第九章假设检验一、大纲要求(1)理解假设检验的基本思想,掌握假设检验的基本步骤,了解假设检验可能产生的两类错误。(2)了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验.二、重点知识结构图第一类错误：为真拒绝第二类错误：为假接受1.提出假设2.找统计量3.求临界值4.求观察值5.作出判断检验法检验法检验法检验法假设检验基本步骤两类错误正态总体的均值和方差的检验三、基本知识1.假设检验的几个术语定义1给定,不等式确定了关于的一个区域当落入此区域内，就拒绝(接受),称上式这类区域为的拒绝域,记为.不等式确定了

2、关于的另外一个区域当落入此区域内，就接受(拒绝),称上类区域为接受域,记为.不等式称为临界值形式的接受域,称为区间形式的接受域.定义2称为原假设(或零假设),称为备择假设(或备选假设、对立假设).定义3称允许作判断有错误的概率为显著性水平(或检验水平),它是用来衡量原假设与实际情况差异是否明显的标准.定义4称为临界值小概率原理:小概率事件在一次试验中是不大会发生的.2.假设检验的两类错误第一类错误:正确,但拒绝了它,这类错误称为“弃真错误”.第二类错误:不正确,但接受了它,这类错误称为“存伪错误”.

3、3.假设检验的基本步骤(1)提出假设;(2)找统计量(这里要求该统计量含有待检验的参数);(3)求临界值(求接受域);(4)求观察值;(5)作出判断.4.检验法已知方差,假设检验.(1)提出假设.(2)找统计量.确定样本函数:,称其为的统计量,它含有待检验参数.(3)求临界值.给定显著性水平,查正态分布表求出临界值,使,即.(4)求观察值.根据给定的样本求出统计量的观察值.(5)作出判断.若,则接受;若,则拒绝.5.检验法未知方差,假设检验.(1)提出假设.(2)找统计量.因为未知,这时已不是统计量

4、,所以不能用检验法,这里用来代替,找出统计量:.(3)求临界值.对给定显著性水平,由分布表查得临界值,使.(4)求观察值.根据给定的样本算出统计量的观察值.(5)作出判断.若,则接受;若,则拒绝.6.检验法已知期望,假设检验.(1)提出假设.(2)找统计量.确定样本函数的统计量:(3)求临界值.对给定显著性水平,由分布表查得临界值与,使即(4)求观察值.根据给定的样本算出统计量的观察值.(5)作出判断.若,则接受;若或,则拒绝.7.检验法已知期望,假设检验(1)提出假设.(2)找统计量(3)求临界值

5、.对给定显著性水平,查分布表,求得及,使即(4)求观察值.由所给定的样本算出统计量的值.(5)作出判断.若,则接受;若或,则拒绝.四、典型例题例1有两批棉纱,为比较其断裂强度,从中各取一个样本,测试得到:第一批棉纱样本;第二批棉纱样本.试验证两批棉纱断裂强度的均值有无显著差异(检验水平)?如果呢?解这是两个正态总体的均值检验问题,检验.因为是大样本(均较大),所以、可用代入,近似有故由于与相互独立,若成立,则故因此,只要是大样本(容量较大时),不管总体、是否服从正态分布,是否,都可以按检验法已知的情

6、况去做近似检验.由已知得故当时,查表得.因,故被接受,即在检验水平下可以认为这两种棉纱的强力值无显著差异.当时,查表得.因,落入拒绝域,应否定,即在检验水平下可以认为这两种棉纱的强力值有显著差异.例2某农业试验站为了研究某种新化肥对农作物产量的效力,在若干小区进行试验.测得产量(单位:kg)如下:施肥343532333034未施肥29273228313231设农场的产量服从正态分布,检验该种化肥对提高产量的效力是否显著?解设为施肥后的产量,为施肥前的产量.已知.由于总体方差和均未知,应先对方差进行检

7、验,即,.由题意可知已知,查表得.因为,所以接受,即认为.提出检验问题,即已知,查表得.因为,所以拒绝,即认为该种化肥对提高产量的效力显著.例3某种配偶的后代按体格的属性分为三类,各类的数据是:10,53,46.按照某种遗传模型,其频率之比应为,问数据与模型是否相符?解令,欲检验的假设为:数据与模型相符.设观察到的三类数量分别为,其中,则的似然函数为由于解得的极大似然估计为从而统计量观测值为已知,自由度,查表得由于,故接受,即数据与模型相符.例4设某次考试考生成绩服从正态分布,从中随机抽取36位考生

8、的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在时是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?解设该次考试考生的成绩为,则.把从中抽取的容量为的样本均值记为,样本标准差记为，检验假设.则已知,所以所以接受假设,即时,可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.例5某一指标服从正态分布,今对该指标测量8次,所得数据为:68,43,70,65,55,56,60,72.在以下两种条件下,检验.(1)总体均值未知;(2)总体均值.解(1)检验假设,用检验,得故查表得