概率论重点及课后题答案1

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1、第1章随机事件与概率一、大纲要求（1）理解随机事件的概率，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算.（2）了解概率的统计定义和公理化定义，掌握概率的基本性质.（3）会计算古典概型的概率和几何概型的概率.二、重点知识结构图随机现象包含、相等、互斥、对立、事件的关系随机试验事件的和、积、差随机现象运算的性质样本空间事件域随机事件概率的统计定义古典概率几何概率概率概率的性质概率的公理化定义三、基础知识1.随机试验的特征（1）试验可以在相同的条件下重复地进行.（2）试验的可能结果不止一个，但明确知道其所有可能

2、会出现的结果.（3）在每次试验前，不能确知这次试验的结果，但可以肯定，试验的结果必是所有可能结果中的某一个.2.样本空间在讨论一个随机试验时，试验的所有可能结果的集合是明确知道的，称这个集合为该实验的样本空间，常用表示，其元素称为样本点，常用记之，它是试验的一个可能结果.3.随机事件在实际问题中，面对一个随机试验，人们可能会关心某些特定的事情在重复试验下是否会发生.例如，投资者关心明日收市股价是否上涨，即明日股价>今日收市价，它是样本空间的一部分.因此，称样本空间的一些子集为随机事件，简称事件，通常用大写

3、英文字母记之.4.事件的关系和运算一个较为复杂的事件，通过种种关系，可使其与一些较为简单的事件联系起来，这时，我们就可设法利用这种联系，通过简单的事件去研究那些较为复杂的事件，用已知的事件去表示未知的事件.5.事件的蕴含与包含若当事件发生时必发生，则称蕴含，或者说包含，记作.6.事件的相等若与互相蕴含，即且，则称事件与相等，记为.7.事件的互斥(或称互不相容)若事件不能在同一次试验中都发生(但可以都不发生)，则称它们是互不相容的或互斥的.若一些事件中的任意两个事件都互不相容，则称这些事件是两两互不相容的，

4、或简称互不相容的.8.事件的对立（或称逆）互不相容的一个重要特例是“对立”.称事件为的对立事件或逆事件，常记作.9.事件的并（或称和）对给定的事件、，定义一个称为并或和的事件，以记之.={发生或发生}={、至少有一个发生}10.事件的交（或称积）对给定的事件、，定义一个称为交或积的事件，以记之.={发生且发生}={、同时发生}11.事件的差两个事件、之差，记为.其定义是：={发生但不发生}={发生且发生}从定义可看出：=.12．事件域定义称样本空间的一些子集所组成的集合为事件域.如果满足以下3个条件：①；

5、②若,则③若（）,则;称中的元素为事件.13.概率的统计定义定义若事件在次试验中出现了次，则称比值为事件在次试验中出现的频率记作，即式中称为事件在次试验中出现的频数.概率的统计定义在同一组条件下所作的大量重复试验中，事件出现的频率总是在区间（0,1）上的一个确定的常数附近波动，并且稳定于，则称为事件的概率，记为.即14.古典概率定义古典概率定义在古典概型中，如果基本事件的总数为（为有限数），事件所包含的样本点个数为（），则定义事件的概率为.即15.概率的公理化定义定义设是样本空间，是随机事件，即是上事件域

6、中的一个元素，是的实值函数，且满足下列3条公理，则称函数为事件的概率.公理1对于任意事件，有.公理2.公理3若两两互斥，则（可列可加性）.四、典型例题例1设、是两个随机事件，若，则下列命题中正确的是（）.（A）和互不相容（互斥）（B）是不可能事件（C）不一定是不可能事件（D）解一个事件的概率为0，这个事件未必是不可能事件；因此C项正确.反例如下：随机地向[0,1]区间内投点，令表示点的坐标，设，则，由几何概率可知，，由此例子还可得出A项和B项是不对的.D项也是错误的，反例如下：掷一枚均匀的硬币，设表示出现

7、正面，表示出现反面，则，但，从而.例2设当事件与同时发生时，事件比发生，则下列式子正确的是（）.（A）（B）（C）（C）解已知，则，又因为所有B项正确，而A项、C项和D项显然是错误的.例3袋子里有5个白球，3个黑球，从中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率.解样本空间所包含的样本点总数为.设事件，则事件包含的样本点总数为，故例4一批产品工200个，其中有6个废品，求：（1）这批产品的废品率；（2）任取3个恰有1个废品的概率；（3）任取3个全是废品的概率.解样本空间所包含的样本点的总数为.设事件；.若取

8、出的3个产品中有个废品，则这个废品必是从6个废品中获得的，而另个合格品必是从194个合格品中获得的，从而事件所包含的样本点数为，故例5袋子里装有6个球，其中4个白球，2个红球.从袋中取球两次，每次任取一个，试分别就放回抽样和不放回抽样两种情况，求：（1）取到的两个球都是白球的概率；（2）取到的两个球颜色相同的概率；（3）取到的两个球中至少有一个是白球的概率.解设事件；事件；事件.第一种情况：不放回抽样样本空间的基本事件总数为.