含参集合分类讨论问题

《含参集合分类讨论问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、淘出优秀的你第二周　含参集合分类讨论问题重点知识梳理1．所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．2．用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是：(1)明确讨论的对象；(2)进行合理分类，所谓合理分类，应该符合三个原则：①分类应按同一标准进行；②分类应当没有遗漏；③分类应是没有重复的；

2、(3)逐类讨论，分级进行；(4)归纳并作出结论．3．集合中引起分类讨论的原因：(1)由元素的特性引起的讨论；(2)由空集引起的讨论；(3)由方程的有解性引起的讨论．典型例题剖析例1　同时满足：(1)M⊆{1,2,3,4,5}；(2)若a∈M，则(6－a)∈M的非空集合M有多少个？并写出这些集合．【解析】按集合M中元素个数分类讨论：M中只有1个元素时，若3∈M，则6－a＝6－3＝3∈M，所以M＝{3}；M中有2个元素时，满足条件的M有2个：M＝{1,5}，M＝{2,4}；M中有3个元素时，满足条件的M有2个：M＝{1,3,5}，M＝

3、{2,3,4}；M中有4个元素时，满足条件的M只有1个：M＝{1,2,4,5}；M中有5个元素时，满足条件的M也只有1个：M＝{1,2,3,4,5}，所以适合条件的集合M共有7个．变式训练　已知集合M＝{a2，a＋1，－3}，N＝{a－3，2a－1，a2＋1}，若M∩N＝{－3}，则a的值为(　　)A．－1B．0C．1D．2【答案】A【解析】∵M∩N＝{－3}，∴－3∈N＝{a－3,2a－1，a2＋1}，7淘出优秀的你若a－3＝－3，则a＝0，此时M＝{0,1，－3}，N＝{－3，－1，1}，则M∩N＝{－3,1}，故不适合．若2

4、a－1＝－3，则a＝－1，此时M＝{1,0，－3}，N＝{－4，－3,2}，M∩N＝{－3}，满足题意．若a2＋1＝－3，此方程无实数解．故选A.【小结】该题结合集合的运算考查了分类讨论思想，分类的标准结合集合的性质：无序性、互异性、确定性．例2　已知集合A＝{x

5、x2＋4x＝0}，B＝{x

6、x2＋ax＋a＝0}，若B⊆A，求实数a的取值范围．【解析】A＝{0，－4}．①B＝∅时，Δ＝a2－4a<0，即0

7、均不满足题意．综上所述，a的取值范围是{a

8、0≤a＜4}．变式训练　已知集合A＝{x

9、ax2－3x＋2＝0，a∈R}．(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．【解析】(1)当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0化为－3x＋2＝0，解集非空；当a≠0时，要使A是空集，则Δ＝(－3)2－8a＜0，解得a＞.∴使A是空集的a的取值范围是{a

10、a>}．(2)当a＝0时，集合A中有一个元素；当a≠0时，若A中有两个元素，则Δ＝(－3)2－8a＞0，解得a＜.综上，使A中至多只有一个元素的a的取值范围是{

11、a

12、a＝0或a≥}．例3　已知集合A＝{x

13、1

14、2m

15、m≤－2}．(2)由A∩B＝∅得：①若2m≥1－m即m≥，B＝∅，符合题意；②若2m<1－m即m<，需或得0≤m<或∅，即0≤m<.综上知m≥0，即实数m的取值范围为{m

16、m≥0}．变式训练　设集合P＝，Q＝.(1)若P∪Q＝P，求实数a的取值范围；(2)若P∩Q＝∅，求实数a的取值范围；

17、【解析】(1)由题意知P＝，∵P∪Q＝P，∴Q⊆P.①当Q＝∅时，得2a＞a＋3，解得a＞3；②当Q≠∅时，得－2＜2a≤a＋3＜3，解得－1＜a＜0.综上，实数a的取值范围是{a

18、－13}．(2)①当Q＝∅时，得2a＞a＋3，解得a＞3；②当Q≠∅时，得，解得a≤－5或≤a≤3.综上，实数a的取值范围是{a

19、a≤－5或a≥}．跟踪训练1．由实数a，－a，

20、a

21、所组成的集合里，所含元素个数最多有(　　)A．0个B．1个C．2个D．3个2．在集合A＝{1，a2－a－1，a2－2a＋2}中，a的值可以是(　　)A．0B．

22、1C．2D．1或23．已知集合A＝{x

23、ax2＋2x＋1＝0，a∈R}只有一个元素，则a的值为(　　)A．0B．1C．0或1D．－14．设P、Q为两个非空实数集，定义集合P＋Q＝{a＋b

24、a∈P，b∈Q}．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，