误差的基本性质与处理

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1、第２章误差的基本性质与处理第１节随机误差第２节系统误差第３节直接测量值的处理第４节间接测量值的处理第１节随机误差测量列：对同一量，多次等精度重复测量……每个测量值都含有误差，就个体而言是无规律的。但从总体上，随机误差服从一定的统计规律。可以用统计学的方法，从理论上估计随机误差对测量结果的影响。随机误差产生的原因：①仪表内部存在有摩擦和间隙等的不规则变化。②测量人员对仪表最末一位读数估计不准。一切数字式仪表，由于计数脉冲列与闸门开关时间的相对相位关系而产生的±1个字的误差等。③周围环境不稳定对测量

2、对象和测量仪器的影响，如气压、温度、电磁干扰、振动等因素的微量随机变化都会使测量对象在数值大小上引起相应的变化，使测量仪器本身的精度发生变化。④随机误差产生的原因也可以认为是由不可控制的或不值得耗费很大财力物力去消除的各种因素造成的。在这些随机因素中，有的我们已经认识到，估计到，有些我们可能尚未发现，但是它们肯定是影响测量的次要因素。⑤在某些情况，经剔除后尚残存的那些数值微小、符号可变可不变的系统误差也混在随机误差中间。测量时把一切次要因素都统统考虑进去是不必要的，有时也是不可能的。科学的方法正

3、是要抓住主要的，忽略次要的因素，并估价次要因素造成的影响范围，从而得到可以信赖的结果。随机误差越小，测量结果的精密度越高。一、随机误差分布的性质1、有界性在一定测量条件下，随机误差总是在一定的、相当窄的范围内变动，无论如何，误差的绝对值不会超过一定界限。2、对称性当测量次数足够多后可发现，出现正的误差和负误差的次数大致相等；更确切地说，绝对值相等但符号相反的误差以同样的频率出现，对称轴是各测量值的算术平均值。3、抵偿性在等精度测量的条件下，全部随机误差的算术平均值随测量次数无限增加而趋于零。4、

4、单峰性误差的绝对值越小，其出现的频率就越大，随机误差为零时出现的概率最大。（测量次数→∞，而非有限次）以上四点性质都是从大量的观察统计中得到的，已经获得了公认，因此也称为随机误差分布的公理。正是在这几点性质的基础上，（德国.高斯）推导出了正态分布函数，并反过来发展了误差理论。二、随机误差的正态分布正态分布密度函数的推导从略。正态分布的概率密度：－数学期望；－方差；对于随机误差，其数学期望∴（讨论随机误差的前提，已去除了系统误差和粗大误差。）三、算术平均值原理1、最优概值在测量中，对真值的最佳估计

5、，称为最优概值。当时，∴由此可见，如果可能对某一量进行无限多次测量，就可以得到不受随机误差影响的值，或其影响甚微可以忽略。由于实际中都是有限次测量，所以我们在直接测量中把算术平均值作为接近真值的最优概值。2、剩余误差一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按定义式（）求得随机误差。可用算术平均值（最优概值）来代替被测量的真值，这时得到的称为剩余误差。剩余误差的两个性质：①；②最小。（由此性质，建立了最小二乘法原理。）四、误差的评价指标为了评定测量列和它的最优概值的优劣，需要引入一些评价指标，常用的

6、有标准误差和极限误差。1、测量列的标准误差（即均方根）∵被测量的真值未知，∴不能计算，必须用剩余误差（）来表示。标准误差（贝塞尔公式）由上页图中可以看出，标准误差的数值小，则该测量列相应小的误差就占优势，任一测量值对算术平均值的分散就小，测量的可靠性就大，即测量精度高；反之，测量精度就低。是正态分布曲线的拐点（曲线凹凸性发生改变的点，由曲线上各点切线方向的走向确定）。（德国）随机误差落在[-，]之内的可能性为68.3％，而落在该区之外的机会少。因此测量列的标准误差可以看作在给定条件下，所有测量值

7、随机误差的一个代表，它表征着测量列的精密度。（值越小，精密度越高）。误差的表示方法与置信度有不可分离的关系。只有在人们所愿意接受的置信度时，误差（即置信区间）才有意义。由于置信度不同，误差的表现方法也各不相同。2、最优概值的标准误差最优概值（算术平均值）要比每个测量值都更接近于真值，因此不能用测量列标准误差来评价最优概值的优劣。——最优概值对真值的分散程度；反映准确度（系统误差）——任一测量值对最优概值分散度;反映精密度（随机误差）∴用剩余误差表示，则有：真值落在[,]的概率是68.3％，也称置

8、信度为68.3％；真值落在[,]的概率是95.5％；真值落在[,]的概率是99.7％。3、测量列的极限误差随机误差落在[,]区间内的概率为99.7％,而落在外面的概率只有0.3％，即每测得1000次，其误差绝对值大于的次数仅有3次。因此，在有限次的测量中，就认为不会出现大于的误差，故把定为极限误差。凡在测量中出现误差绝对值大于的测量值，就认为属粗大误差而予以剔除。4、最优概值的极限误差类似于测量列的极限误差，可推得最优概值的极限误差为：第２节系统误差系统误差是测量中按一定规律变化的误差。一、系统