第2章误差基本性质与处理

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1、第2章误差的基本性质与处理本章分别详细阐述随机误差、系统误差、粗大误差三类误差的来源、性质、数据处理的方法以及消除或减小的措施。特别是在随机误差的数据处理中，分别掌握等精度测量和不等精度测量的不同数据处理方法。通过学习本章内容，使读者能够根据不同性质的误差选取正确的数据处理方法并进行合理的数据处理。教学目标教学内容2.1随机误差2.2系统误差2.3粗大误差2.4测量结果的数据处理实例2.5三类误差性质与特征小结三大类误差的特征、性质以及减小各类误差对测量精度影响的措施掌握等精度测量的数据处理方法掌握不等精度测量的数据处理方法重点与难点当对同一测量值

2、进行多次等精度的重复测量时，得到一系列不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下一个数据的大小和方向。但就误差整体而言，却明显具有某种统计规律。这种误差就称为随机误差。等精度的重复测量，是指测量仪器、测量环境、测量方法过程、测量人员等各种能准确知道的影响量均相同的条件下进行的重复测量。在数学上就表现为样本方差相同。2.1随机误差一、随机误差产生的原因随机误差(和未定系统误差)是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构成，例如：A、被测量的不完整定义；B、被测量定义复现的不理想；C

3、、取样——被测样品不能代表定义的被测量；D、没有充分了解环境条件对测量过程的影响，或环境条件测量不完善；E、模拟仪器读数时有人为偏差；F、仪器分辨率或鉴别阈值；G、赋予计量标准或标准物质的值；H、根据外部源获得并在数据简化算法中使用的常数及其它参数值；i、测量方法和测量过程中引入的近似值或假设；J、在相同条件下被测量重复观测值中的变化；造成随机误差的原因，也可归纳为以下几方面：①测量装置方面的因素②环境方面的因素③人为方面的因素零部件变形及其不稳定性，信号处理电路的随机噪声等。温度、湿度、气压的变化，振动，光照强度、电磁场变化等。瞄准、读数不稳定，

4、人为操作不当等。例如测定一根标称值为1m的钢管长度，精度为微米级，则其说明中应包括定义长度时的温度和压力。因此，被测量应表示为钢管在25.00℃和101325Pa时的长度（加上其他认为需要定义的参数，如支撑钢管的方法）。否则被测量的定义就不完全。然而，如果被测长度的精度仅为毫米级，则其说明中不要求定义温度、压力或其他的参数的值。随机误差的分布可以是正态分布，也有非正态分布，而多数随机误差都服从正态分布。我们首先来分析服从正态分布的随机误差的特性。设被测量值的真值为　，一系列测得值为　，则测量列的随机误差　可表示为：(2-1)式中　　　　　　　。分布

5、密度　　与分布函数　　可精确描述正态分布的特性：(2-2)(2-3)式中：σ——标准差（或均方根误差）e——自然对数的底，基值为2.7182……。二、正态分布它的数学期望为:(2-4)它的方差为：(2-5)其平均误差为：此外由　　　　　　可解得或然误差为：(2-6)(2-7)这些特征值的物理意义：数学期望反映了误差的平均特性，从统计的意义说它是误差所有可能取值的平均值；方差反映了误差的离散程度，是误差平方的平均值；平均误差是误差绝对值的平均值。由式（2-2）分布密度函数可以得到以下结论：①由,可推知分布具有对称性，即绝对值相等的正误差与负误差出现的

6、次数相等，这称为误差的对称性；②当δ=0时有　　　，即　　　　，可推知单峰性，即绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这称为误差的单峰性；③虽然函数　　的存在区间是[-∞,+∞]，但实际上，随机误差δ只是出现在一个有限的区间内，即[-kσ,+kσ],称为误差的有界性；④随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零：　　　这称为误差的抵偿性。图2-1为正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。σ值为曲线上拐点A的横坐标，θ值为曲线右半部面积重心B的横坐标，ρ值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因此

7、其获得的测量值不完全相同，此时应以算术平均值作为最后的测量结果。(一)算术平均值的意义设为n次等精度测量所得的值，则算术平均值为:(2-8)三、算术平均值下面来证明当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值Lo。由前面正态分布随机误差的第四特征可知，因此由此我们可得出结论：如果能够对某一量进行无限多次测量，就可得到不受随机误差影响的测量值，或其影响很小，可以忽略。这就是当测量次数无限增大时，算术平均值（数学上称之为最大或然值）被认为是最接近于真值的理论依据。但由于实际上都是有限次测量，因此，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。若测量次数

8、有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量，即满足无偏性、有效性、一致性，并满足最小二乘法原理；在正