数学学科技能大赛试题史占秋呼兰区利民二中

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1、数学学科技能大赛试题哈尔滨市呼兰区利民第二中学史占秋1、请编制一道难易适中的双解题。已知，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，在平面上有一点D，使得∠DBA=30°，求点C到直线BD的距离。解：①∵AB=AC=2，∠BAC=90°，∴BC=AB=，∵∠A=∠CHE=90°，∠BEA=∠CEH，∠ABE=30°，∴∠EHC=30°。设EH=x,则EC=2x,AE=2-2x,∴BE=2AE=4-4x,CH=EH=x,∴BH=BE+EH=4-3x,在△BHC中，根据勾股定理得BH2+CH2=BC2，（4-3x）2+3x2=8,解得：（舍）；，∴CH=-1。（2）解：

2、∵∠DBA=30°，∠BHA=∠A=90°，∴∠MCA=30°，设HM=x,则BM=x,AM=2-2x,CM=4-4x,∴CH=4-3x,在△BHC中，根据勾股定理得BH2+CH2=BC2，（4-3x）2+3x2=8,解得：（舍）；，∴CH=4-3x=4-3×=+1.2、在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为，将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点．请根据以上条件编制一道二次函数与几何的综合题.具体要求如下：（1）设计三问，难度有梯度；（2）要求体现10个以上知识点，且要求有

3、动点；（3）要体现出知识之间的综合性，应用一次相似知识；（4）可以增加条件，但条件不能过剩；（5）请解答出来并给出评分标准。（1）求抛物线y=x2+bx+c的解析式。（2）点p是抛物线的对称轴上一动点，设点p的纵坐标为t,△PBC的面积为s,求s与t的函数关系式。(3)连接AC，当∠PBC=∠ACB时，求P点坐标。解：（1）∵直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度，∴所得直线解析式为y=kx+3，且经过点B，∴解得k=-1,∴直线解析式为y=-x+3.∴点C的坐标为(0,3)，∴c=3,把点B代入抛物线解析式y=x2+bx+c得9+8b+c=0∴b=-4,∴抛物线解析式为

4、y=x2-4x+3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分解：（2）如图，作PH⊥BC于H，∴C(0,3)，B，∴OB=OC=，∴BC=，∠OBC=45°，∵此抛物线对称轴为直线x=2,∴MG=BM=1,PG=t-1,PH=,∴s=Ｓ△PBC=ＢＣ·PH==t-1（t＞1）;．．．．．．．．．．．．．2分如图，PG=1-t，PH=，∴s=Ｓ△PBC=ＢＣ·PH==1-t（t＜1）;…2分解：（3）如图①，∵∠PBC=∠ACB，∴ＰＢ∥ＡＣ，∴∠PBＯ＝∠ＣＡＯ，∵∠ＣＯＡ＝∠PＭB＝９０°，ＯＡ＝ＯＢ，∴△ＡＯＣ≌△ＢＰＭ，∴ＰＭ＝ＯＣ＝

5、３，∴Ｐ（２，３）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分如图②，∵∠ＡBC=４５°，∠PＧB＝４５°，∴∠ＡBC＝∠PＧB，∴△ＡＣＢ∽△ＰＢＧ，∴即，∴PＧ＝，∴ＰＭ＝，∴Ｐ（２，）。综上所述，Ｐ点坐标为（２，３），（２，）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分