“包含排除原理”与分数乘法计算公式

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1、维普资讯http://www.cqvip.com。乐家骏本T~12007年第5期吴国庆老师的《求最简真分数的个数有简便方法》一文(以下简称吴文)，提供了求最简真分数个数的分数乘法计算公式，并用此公式解决了下面的问题：题目：分母是2006的最简真分数有多少个?解：2006=2~17~59。最简真分数的个数为2006×(·一丢)×(·一)×(卜)2006×—11658：—×——×：16~58：928(~i"-)21759上述计算方法确实非常简便。在这类特殊问题中．能不能用“包含排除原理”直接推导出分数乘法计算公式呢?回答是肯定的例：自然数N=axbxc，其

2、中a、b、c为不同的质因数。分母是Ⅳ的最简真分数有多少个?解：根据“包含排除原理”．所求个数为NN2-uP=-N-(N十+一一--．-．一+～DC叻乜CDCaOC)／。86维普资讯http://www.cqvip.com现在把上述算式进仃变彤：Ⅳ×f一(+1+1一1一1一1十1))=f(一)一iI×(一)+1×(一)一(一)1)=(一)×{一i1一1+11)=(-一)×{(-一÷)_1x(-一÷)}=(一)×(一1)×(·一÷)，得到了分数乘法计算公式。可知“包含排除原理”与分数乘法计算公式是解答这类特殊问题所用计算方法的两种表达方式，其实质都是剔除重

3、复计算的部分求得结果。根据题中的条件，能确定重复计算的部分，才能得到确切的结果，否则，就无法得到问题的答案。吴文中的例2，就是因为无法确定重复计算的部分，因而不可能得到肯定的答案。该文中的例2如下：某校六年级有420人，在篮球、排球、足球、乒乓球四项体育活动中，有的只喜欢其中的一项，有的喜欢其中的两项，有的喜欢其中的三项，有的这四项都喜欢。据统计：喜欢打乒乓球的占喜欢打篮球的占2，3，喜欢踢足球的占÷，喜欢打排球的占。那么在这个年级中，这四项体育活动都不喜欢的维普资讯http://www.cqvip.com有多少人?因为这题中缺少条件，无法剔除重复计算

4、的部分．因而得不到唯一的答案。而文中错解为420×(1一÷)×(1一÷)×(一(一)=96(人)o从下面两图中可以看到，根据题中条件，四项体育活动都不喜欢的人数是不确定的．最多可以有六年级人数的。即2210人．最少可以一个人都没有。图1以长方形ABCD表示六年级学生总数420人．以不同的标志表示喜欢四项体育活动的人数。12，2D；麓躁毯潞r觳麓CL10了1目乒乓球篮球足球排球图188维普资讯http://www.cqvip.com图中显示。喜欢一项、两项、三项、四项体育活动的人都有。可以看到。四项体育活动都不喜欢的(空白部分)为420~÷=210(人)

5、。图2以四个圆圈分别表示喜欢四项体育活动的人数。从四个圆相交的情况可以看到。有不重叠的部分，也有两圆相重叠、三圆相重叠、四圆相重叠的部分，分别表示喜欢一项、两项、三项、四项体育活动的人数。图2图中的人数是根据题中条件(喜欢乒乓球、篮球、足球、排球的分别为210人，140人，84人，60人)凑成的一组数，其中喜欢四项的1人，喜欢三项的(2+3+5士8)18人，喜欢两项的(7+8+9+11)35人，喜欢一项的(174+110+58+24)366人，以上合计，四项体育活动中至少喜欢一项的有(1+18+35+366)420人。四项体育活动都不喜欢的一个人也没有

6、。89维普资讯http://www.cqvip.com为了得到唯一的答案，吴文中的例2可以作如下修改：某校六年级有420人．分别佩戴1至420号的体育号码标志，喜欢打乒乓球、打篮球、踢足球、打排球的人的号码分别为2的倍数，3的倍数，5的倍数，7的倍数。那么在这个年级中，这四项体育活动都不喜欢的有多少人?答案为420×(卜)×(卜÷)×(一÷)×()=96(人)。另外还要指出，分数乘法计算公式只能解决特殊的问题．不能解决用“包含排除原理”解答的所有问题当分数乘法的计算结果是分数时．就无法求出答案例：在1至400的自然数中，既不能被3整除，又不能被7整除，

7、也不能被11整除的数有多少个?解：根据“包含排除原理”得到的答案为4oo一([】+f1+fH1_[1．f1+f])=400一(133+57+36—19—12—5+1)=209(个)。如果用分数乘法计算公式，由于400不能被3，7和11整除，结果只能得到带分数：4。o×(·一)×(·一)×(·一)=4。0××号×=207c个，得不到正确的答案所以解题时要根据具体问题选择合适的计算方法